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Il sistema (11) si trasforma senza difficoltà in quest'altro 



!>u H- h ~òu h 1v 



~òv' = ± 1 ~òu' _ k f/i -f. W lu' ^ 



~òu ~ h ~òu h ~<> v 



e /?, per mezzo della sosti- 



ci/ 

 Da ' 



il che vuol dire che u' -f- iv' è funzione della variabile complessa 



1 rt hi 



(15) «±^»^± ^— - i>, 



la quale si può anco scrivere, per la 1* delle (10): 



(16) « ± ip = ku-\- e M(ù v . 



Di qui il seguente 



Teorema. — Essendo (u,v) e (u' ,v') due sistemi isotermi risp. sulle 

 superficie S e S', la più generale rappresentazione isodromica di S su S r 

 si ottiene ponendo 



(17) u! + «>' = <P (A« + e^y) , 



dove é «7 simbolo di una funzione arbitraria. 



Le costanti co e k hanno, per la rappresentazione, i significati geome- 

 trici indicati dalle (8), (10). 



Per k = 1 , m ~ 90°, la rappresentazione è conforme, e il teorema pre- 

 cedente si riduce a quello notissimo di Gauss. 



Per co = 90° e k % 1, abbiamo il caso trattato dal prof. Venturi. 



Notiamo infine che, supposto k = l, la (17) si può anco tradurre nel 

 seguente teorema, già trovato dal Beltrami : Se u' e v' sono parametri iso- 

 metrici di una superficie S' , eguagliando il binomio u -f- iv' a una qua- 

 lunque funzione di u-\- e iw v , si ottengono due sistemi di curve & = cost, 



E cambiando le variabili u e v nelle nuove a 

 tuzione 



( <x = ku± , v — 

 ( 1B ) j , h^_ 



le (12) diventano 



liu' ~òv r ~òu r 

 (14) D« ~ ~~ Dp ' Ufi ~~ 



