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v — cost di S r , die si tagliano dappertutto sotto l'angolo costante co ('). 

 Resta inoltre dimostrata, per la (16) e per la 2 a delle (13), l'osservazione 

 fatta dal Bel trami, elie le curve del sistema v = cost sono, per una stessa 

 funzione <P di u-\- e i(a v , indipendenti dall'angolo co, e che quindi da una 

 stessa funzione Q> si deduce un sistema di curve v, accompagnato dai sistemi 

 delle sue traiettorie sotto tutti gli angoli possibili ( 2 ). 

 2. In virtù della (17), la (4) diviene: 



(18) ds" = X 1 0>'| 2 \ k 2 du 2 + 2 k cos w du dv -f dv l \ . 



E quindi per il modulo di deformazione lineare di un elemento ds della 

 superficie S, formante l'angolo 6 con le linee y = cost, abbiamo: 

 v 



(19) m 2 = -r- 1 \ 2 J k 2 cos 2 0 + k cos co sin 20 -f- sin 2 0 j . 



Da questa segue che le direzioni dei due elementi lineari di S ai quali 

 compete il massimo e il minimo modulo di deformazione, son date dai va- 

 lori di 0 che soddisfanno all'equazione 



2k cos co 



(20) tg 20 = y ; 



e i corrispondenti valori di m (moduli principali) sono 



= | y 1 0>' | 2 1 1 -f k 2 + f/(l — A 2 )' 2 + 4£ 2 ~cos T ^ J , 

 wf = | y l#T 1 + £ 2 — 1/(1 — k 2 ) 2 + 4£ 2 cos 2 « j . 



La (20) mostra che gli angoli formati con le linee v dalle direzioni 

 di massima o minima deformazione lineare, sono costanti per tutti i punti 

 di S, e quindi le linee di massima e minima deformazione lineare costitui- 

 scono sulla S un doppio sistema (ortogonale) di lossodromiche, cui corrisponde 

 sulla S' un altro doppio sistema (ortogonale) di lossodromiche. 



Per il caso particolare k — 1, e per co > 90°, si vede che le linee di 

 massima e minima deformazione lineare sono, sulla S, le traiettorie a 45° 

 delle linee v (o u). 



Dalle (21), poi, segue che per ogni punto di S è costante il rapporto 



— dei moduli principali lineari. 



m 2 



mi 



(*) Beltrami, Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque. Opere ma- 

 tematiche, Hoepli, t. I (1902), pag. 329. 

 ( 2 ) Beltrami, Ibidem, pag. 329. 



