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Sarebbe poi facile dimostrare, date le (20) e (21), che la massima e 

 la minima proiezione su S' di uno stesso angolo A di S restano costanti, 

 al variare dell'orientazione di A, qualunque sia il punto di S; e corrispon- 

 dono a due orientazioni di A pure indipendenti dal punto considerato. In 

 generale è costante intorno a ogni punto di S ogni circostanza angolare, 

 rispetto alla rappresentazione ('). 



Matematica — Sulle funzioni implicite. Nota del dott. L. Or- 

 lando, presentata dal Corrisp. A. Di Legge. 



Data l'equazione f(x,y) = 0, si può in molti casi dedurne una fun- 

 zione continua y = <p(x) della variabile x, che abbia per derivata 



(1) ^. == _V.V 



dx ~òx ' ~òy ' 



È molto naturale domandarsi in quali casi ciò avvenga: ma una precisa ri- 

 sposta non è così facile a formularsi come la domanda. 



Intanto una condizione indispensabile è che esista almeno un punto a,b, 

 tale che. sia f(a,b) = 0. Per esempio, l'equazione e x+ ' J = 0 non potrà mai 

 definire una funzione y della variabile x. 



Una condizione, sufficiente insieme con f(a ,b) = Q, affinchè in un ade- 

 guato intorno di a , b esista la y = y>(x) e possa anche scriversi la (1), è 



che esistano le due derivate parziali — , — e siano continue in osmi 



~òx ~òy to 



punto dell' intorno, e che inoltre la derivata — vi si mantenga di segno 



~by 



invariabile. 



Tale condiziono è data in eccellenti trattati d'analisi; per non citare 

 altri, citerò i trattati di Genocchi-Peano e di Baire, nei quali scienza e buon 

 senso mirabilmente si conciliano, e citerò l'ultima edizione del trattato di 

 Jordan, circa la quale V illustre autore potrebbe senza immodestia riferire 

 il verso di Orazio: exegi monumentimi aere perennìus. 



Io voglio, con osservazioni in parte note ed in parte facilmente dedu- 

 cibili, ampliare tale condizione ; e poi accennerò inoltre ad un' idea, che 

 potrà prestarsi, io credo, ad un largo svolgimento. 



Supponiamo che f(a , b) sia zero, e poi supponiamo che esista un ret- 

 tangolo («i , /?! ; a 2 , /?, ; a 2 , /S 2 ; a ì , /? 2 ) , orientato secondo gli assi x , y , 

 avente a,b come punto interno, e tale che in ogni suo punto, per ogni x 

 fisso, la funzione f(x , y) della variabile y sia continua e crescente ; poi ag- 



(«) Cfr. Venturi, loc. cit., pp. 35-36. 



