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giungiamo l'ipotesi che, sul lato y=pn la funzione f(as,fa) della varia- 

 bile x conservi inalterato il suo segno, e die la funzione f{x , §%) della va- 

 riabile x conservi, sul lato y=%, anch'essa inalterato il suo segno. 



La condizione che f(x,y) sia, per ogni x fisso (dunque, in particolare, 

 per x = d), una funzione crescente della variabile ?/, ci assicura che 

 f(a , /?0 è inferiore ad f{a , b), e quindi è negativa, e che f(a , /? 2 ), supe- 

 rando f{a , b), è positiva. Ma questi due segni debbono mantenersi invariati 

 sui lati y=Pi ,y=h\ dunque, se £ è una qualsivoglia ascissa fra a, 

 ed « 2 , sarà /(M»,)<0 , = 0. Ma allora basta riferirsi alla sup- 



posta continuità della funzione f$,y) della variabile y, per vedere che 

 esiste un rj (unico, perchè tale funzione è crescente), il quale verifica la 

 relazione f(£ , rj) = 0. 



Notiamo che le ipotesi fatte sulla f(x,y) sono abbastanza ampie; al- 

 quanto più restrittive sono le condizioni che imporremo ad f(x , y) affinchè 

 y = (p(x) risulti continua. Aggiungendo alle precedenti ipotesi quella che 

 f{x , y) sia continua in ogni punto x,y del campo, dedurremo la continuità 

 di y = (p{x). 



Supponiamo, per assurdo, che tp{x) non sia continua per % — § ; sia 17 

 la y relativa a questo valore di x. Allora, scelto un opportuno numero po- 

 sitivo e, debbono sempre esistere, nelle più immediate vicinanze di J, va- 

 lori x tali che le relative y abbiano da rj una differenza non inferiore ad e. 

 Siano oh (che supporremo differente da £ meno di 1), x 2 (che supporemo 

 differente da § meno di j?a (differente da ? meno di {), ecc., siffatte a- 

 scisse, alle quali dunque corrisponderanno le ordinate y x , f* , y 3 » • • • , diffe- 

 renti da rj non meno di f . Questo insieme di infiniti valori y x , y% , y* , • • • , 

 appartenenti all'intervallo finito ammette qualche valore limite: 



sia t un valore limite. Questo valore limite £ avrà nelle sue immediate vici- 

 nanze valori y n con indice n arbitrariamente alto, corrispondenti a valori x n 



arbitrariamente vicini a ì (x n dista da £ meno di ^. Ma f{x n ,y n ) è 

 zero; dunque il numero fisso /(£,£) si dovrà ritenere, per la continuità di 

 f(x , y), arbitrariamente vicino a zero ; tale proprietà non compete ad 

 altro numero fisso che a zero : dunque sarà f (£ , £) = 0 . Ma /(£ , y) = 0 de 

 finisce rj : dunque sarà £ = Questo risultato è assurdo, perchè le y H , che 

 stanno nelle immediate adiacenze del valore limite £ , debbono invece man- 

 tenere da rj un distacco non inferiore al numero fisso s. 



La continuità di y = (f(x) in ogni valore £ dell'intervallo (a, , a t ) 

 resta in tale modo provata Circa la derivabilità dobbiamo aggiungere 



(') In una breve conversazione che ebbi nella scorsa estate col Bagnerà, egli mi 

 parlò di questi argomenti; non credo di avere qui riferito ciò che egli mi disse, ma 

 certamente le idee che ho qui svolte sull'esistenza e sulla continuità di y = cp{x) non 

 sono molto lontane da quelle che volle indicarmi l'illustre scienziato. 



