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~ì>f ~àf 



altre ipotesi. Intanto supponiamo che — , — esistano, e che inoltre sia 



~òx 



Per metterci in un primo caso, vogliamo supporre che esista una suc- 

 cessione (convergente a zero) di incrementi Ax della variabile x, ai quali 

 corrisponda sempre Ay = 0 . Allora, osservando che sulla curva y = (p(x) 

 valgono le relazioni f(x , y) === 0 , f(x -f- Ax , y -f- A?/) = 0, noi possiamo, 

 per tutti questi valori, sostituire f(x -\-Ax,y) ad f{x -\- Ax , 2/ -f- A?/) , 

 e scrivere /"(ce -J- A^ , #) — /(a? * gr) == 0 , 0 anche 



f{x + è>x,y) — f{x,y) 



Ax ~ ' 



1)/ 



dunque troviamo — - = 0. Se poi ad o^wz successione di Ax convergente a 



zero corrispondono Ay nulli, allora risulta senz'altro valida la (1). 



In un secondo caso, noi supponiamo che Ay sia (per Ax sufficiente- 

 mente piccolo) sempre diverso da zero, e scriviamo identicamente: 



(2) f{x + ò,x,x + Ay) — f{x,y + Ay) , 



Ax 



■ f(x,y + Ay) — f(x,y) 



Ay y 



(3) f& + à,x,y)—f{x,y) 



Ax ' 



, /fo + A# , y + A y) — f(x + A^ , y) n 

 + Ay = 0, 



dove i punti x , y ; x -\- Ax , y -\- Ay appartengono alla curva y = cp(x). 

 Basta aggiungere alle precedenti ipotesi una di queste due: 0 la continuità 



~àf ~òf 



di — rispetto ad y , 0 la continuità di — rispetto ad x , per dedurre SU- 

 bito la (1). 



Se poi ci troviamo in un caso intermedio, che esista cioè qualche suc- 

 cessione di Ay tutti nulli e qualche altra di Ay tutti diversi da zero, al- 

 lora, procedendo come nel secondo caso su questa seconda successione ('), 

 stabiliremo la (1), e, procedendo come nel primo caso sulla prima succes- 

 sione, verremo a conoscere il valore di — (che risulterà nulla). 



~òx ' 



C) Si ammette qui, beninteso, che esistano — , ~ , e che una delle due sia con- 

 tinua rispetto all'altra variabile, e che sia — > 0 . 



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Rendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. «8 



