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Matematica. — Sulla dimostratone elementare del teorema 

 di HurwiU. Nota del dott. L. Orlando, presentata dal Corrispon- 

 dente Gr. Lauricella. 



In una precedente Nota, che fu presentata nell'ottobre 1910 a questa 

 illustre Accademia, io dimostrai per via elementare il teorema di Hurwitz, 

 relativo alle parti reali delle radici di un'equazione algebrica. Mi sia per- 

 messo ritornare su tale dimostrazione, per precisarne alcuni punti. 



Sia 



^) f( x ) = a 0 x n -{-a 1 x n - i -\ h «n-i x 4" a » 



un polinomio di grado n nella variabile x. Noi supponiamo che sia a 0 =h 

 e che gli altri coefficienti siano numeri reali positivi. Formiamo U deter- 

 minante 



(2) 



ai 



a z 



«o 0 

 ai a x 



a 5 a 4 a % 



0 

 0 

 0 



0 

 0 

 0 



0 0 0 

 0 0 0 



an— 2 a n —i 

 a n an—i 



e chiamiamo genericamente D, il determinante ottenuto dagli elementi co- 

 muni alle prime v linee ed alle prime v colonne. 



Il teorema dice: condizione necessaria e sufficiente affinchè f{x) — 0 

 abbia soltanto negative le parti reali delle sue eventuali radici complesse 

 è che sia positivo ogni elemento della catena , D 2 , ... , D n _i . 



TI principale artifizio della dimostrazione era quello di stabilire le due 



formule 



(3) D v _, As +Ì = Av_i IX+i + r D, A» , 



(4) An-i®v + ì = ©v-! Av + i + r'A,&, ■ 



le quali furono chiaramente e semplicemente stabilite. 

 Facilmente si stabilì anche la formula 



(5) 



D M _i = (r, + n) + n)...(r l -\-r n ) (r„_ + r n ) , 



che ci è utile richiamare. 



