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Non altrettanto precise erano le altre considerazioni. Pine molto mo- 

 desto del presente lavoro è quello di presentare più chiaramente la dimo- 

 strazione, che mancherebbe al suo scopo se si prestasse a critiche, sia pure 

 facilmente riparabili. 



Consideriamo il rapporto — . Noi possiamo scrivere 



Ai 



A2 _ (fli -j-a 0 r) (a 2 -)-ffl l y) — ao(a3-\~a 2 r) a 0 a 3 -f- a 0 a%r 



a,. a 2 -\- a 0 a 2 r a^a 2 — a 0 a 3 . D 2 



a x r -j- . — = a l r J r 



Supponendo positivo D 2 , e positiva la parte reale di r, ne viene di conse- 

 guenza che è positiva la parte reale del rapporto — (è quasi superfluo 



rammentare che il segno della parte reale del numero complesso — ~—r~ è 



x -f- ly 



il segno di x). 



Ammettiamo che fino a k = v — 1 siasi verificato che il rapporto 



* +1 è un numero con parte reale positiva (è chiaro, da ciò, che A-v è di- 

 Aft 



verso da zero). Scrivendo la (3) come segue: 



(6) D,_ 1 ^ = D, H . 1 % + yU, 



Av An 



e supponendo i D positivi, ne viene, senz'altro, che positiva risulta la parte 



reale di ~~ . Il criterio d' induzione stabilisce, dunque, che tali rapporti 

 Av 



hanno tutti la parte reale positiva. E allora, scrivendo la (4) in quest'altro 

 modo : 



Am Ai 



e, supponendo e 0„ positivi, ne otteniamo che la parte reale del se- 

 condo membro dev'essere positiva, dunque 0 v+ i dev'essere una grandezza 

 (reale) positiva. Intanto è 



©i = «i + ka 0 > 0 , 0 2 = D 2 + ka\ + A*a 0 fli -f kla 0 > D 2 > 0 ; 



dunque si può applicare il criterio d' induzione, per essere certi che dal 

 segno positivo dei D, relativi al polinomio f{x) si deduce il segno positivo 

 dei corrispondenti 0, relativi al polinomio ip(x) = f{x) (x -\- r) (x -\- r') = 

 = f{x) (x 2 -f- kx -J- 0 , Ma tutto ciò risulta subordinato alla validità della 



