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soddisfacente all'equazione integrale (1), e darò ancora una espressione ana- 

 litica di tutte le possibili soluzioni di tale equazione. 



Una quistione analoga, benché di indole assolutamente differente, si 

 propone e risolve il prof. Volterra per il caso di integrali a limiti varia- 

 bili, nei paragrafi 4 e 5 della sua Nota: Contributo allo studio delle fun- 

 zioni permutabili ('). 



Debbo aggiungere che per arrivare ai risultati menzionati, mi è ne- 

 cessario premettere alcuni teoremi sulle autofunzioni dei nuclei reiterati 

 (§ 1), sugli sviluppi delle funzioni di due variabili indipendenti in serie 

 di funzioni ortogonali (§ 2), e sugli sviluppi dei nuclei in serie delle cor- 

 rispondenti coppie di funzioni ortogonali di Schmidt (§ 3), i quali teoremi 

 formano, indipendentementemente dal problema propostomi, un contributo 

 alla teoria delle equazioni integrali ed alla teoria degli sviluppi in serie 

 di funzioni ortogonali. 



§ 1. — Teorema sulle autofdnzioni 

 e suoli autovalori dei nuclei reiterati. 



Sappiamo che se cp(x) è autofunzione del nucleo K(x , y) corrispondente 

 all'autovalore A, ossia se si ha: 



SP(«0 = * f K(as , y) cp(y) dy , 



sarà (p{x) autofunzione del nucleo K n (x , y) corrispondente all'autovalore X n 

 per n numero intero e positivo qualsiasi. Aggiungiamo che, nel caso di n 

 pari, se il nucleo K(x , y), oltre all'autovalore A, ammette l'altro — l, cor- 

 rispondente all'autofunzione g>i{x), sarà anche g>i(x) autofunzione di K n (x,y) 

 corrispondente all'autovalore X n . Aggiungiamo ancora che <p{x) e (fi(x) non 

 possono essere identiche, perchè se fossero identiche, ossia se sussistessero 

 le due equazioni 



<p{%) = X f K(x , y) (p{y) dy , (f{x) = — l f K(x , y) g>(y) dy, 



J a J a 



si avrebbe, in tutto il campo ab , 



(p(x) = 0 . 



Avuto anzi riguardo al fatto che le funzioni g>(x) , g>\(x) sono determi- 

 nate ciascuna a meno di un coefficiente costante arbitrario, si può dire che 

 <p{x) e ffi(x) devono essere linearmente indipendenti. Di qui risulta che se 

 all'autovalore X del nucleo K(x , y) corrispondono j\ autofunzioni linearmente 



C) Rendiconti Acc. dei Lincei, seduta del 5 marzo 1911. 



