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indipendenti, e all' autovalore — X dello stesso nucleo cor rispondono v auto- 

 funzioni linearmente indipendenti, queste j\ -j~ v autofunzioni saranno linear- 

 mente indipendenti tra di loro, e rappresenteranno quindi j\ -f- v autofun- 

 zioni linearmente indipendenti dal nucleo K n (x , z/), corrispondenti all'auto- 

 valore X n \ per cui il numero /„ delle autofunzioni linearmente indipendenti 

 del nucleo K n (x , y), corrispondenti all'autovalore l n , dovrà soddisfare alla 

 condizione : 



(2) j n >j x -\-v. 



Nel caso di n dispari, si avrà invece, come è chiaro, 



È noto ancora, dalla teoria di Schmidt, che se g>(x) è autofunzione del 

 nucleo simmetrico K n (x , y) corrispondente all'autovalore per n dispari 

 sarà tp{x) autofunzione del nucleo simmetrico K(x , y) corrispondente all'au- 

 tovalore y c , dove y c indica il valore aritmetico della radice n esima di c; 

 per n pari esistono invece due funzioni %(x) , xp(x) , delle quali una almeno 

 deve essere non identicamente nulla, tali che: 



<p{x) = %{x) + xp{x) , 



(4) %{x) = ]/c \ K(x , y) %{y) dy , 



' a 



(5) xp(x) = — n \/c \ K(x,y) rp{y) dy . 



In questo modo, per n dispari dovrà aversi: 



jn<jx ; 

 e quindi, avuto riguardo alla (3), 



Jn=Jl • 



Nel caso di n pari, se (p x (x) , <p z {x) , ... sono le j n autofunzioni linearmente 

 indipendenti di K n (x , y), corrispondenti all'autovalore c, esisteranno j n fun- 

 zioni %i{x) , %ì{x) , ... soddisfacenti alla (4), e j n funzioni *l>y{x) , ifJ 2 (x) , ... 

 soddisfacenti alla (5), alcune delle quali possono essere identicamente nulle, 

 tali che: 



(6) %^{x) -f- \p,(x) — <pv(x) (r = 1 , 2 , ... j n ) . 



Le 2j n funzioni X\( x ) > , ... ; *f>i{x) , ipì{x) , ... sono certamente 

 autofunzioni del nucleo K n (x , y) corrispondenti all'autovalore c; sicché tra 

 di esse devono sussistere almeno j n relazioni lineari omogenee a coefficienti 



