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costanti. Osserviamo che, oltre a queste /„ relazioni, non può sussisterne 

 alcuna altra della stessa natura; perchè altrimenti, in virtù delle (6), le 

 9>i(#) , <pA x ) > - non sarebbero linearmente indipendenti, contrariamente alla 

 ipotesi fatta. Quindi e solo j n delle funzioni %,(x) , %t(x) , ... , xpy{x) , 

 ifj 2 (x) , ... sono linearmente indipendenti; e perciò sarà: 



;„ </, +v. 



Questa e la (2) ci dànno: 



Riassumendo, si ha il seguente teorema: le autofunzioni linearmente 

 indipendenti del nucleo simmetrico K n {x , y) corrispondenti all' autovalore 

 X n , coincidono, nel caso di n dispari, con le autofunzioni linearmente indi- 

 pendenti del nucleo simmetrico K{x,y), corrispondenti all' autovalore X; 

 ìiel caso di n pari si possono fare coincidere con le autofunzioni linear- 

 mente indipendenti del nucleo simmetrico K(x , y), corrispondenti ai due 

 autovalori X e — 1 insieme fresi. 



| 2. — Sviluppo delle funzioni di due variabili indipendenti 

 in serie di funzioni ortogonali. 



Sia: 



(7) U^a; , y) , U 2 (a; , y) , ... 



una serie infinita (numerabile) di funzioni ortogonali in un campo piano 

 finito o\ di forma qualsiasi; siano cioè U,(a? , y) , TJ 2 (o? , y) , ... funzioni som- 

 mabili insieme ai loro quadrati e ai loro prodotti due a due, tali che si 

 abbia : 



1 



, • , (1 per fi = v , 

 TJ^(x,y) U,(x,y)dxdy^ì (Q ^ 



Sia ancora K(# , y) una funzione del campo & sommabile insieme al 

 suo quadrato ed insieme al prodotto di essa funzione per una qualunque 

 delle TJi(x , y) . 



Posto : 



ai = ^K(x , y) Vi{x , y) dx dy , 



si ha: 



0 < £ I K(x , y) — fi «TJ<(4 , y) J dx dy = j \ K(x , t/) j 2 dx dy — , 



