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da cui risulta che la serie y_ { a\ è convergente. Allora, posto : 



i 



a. 



f p {x , y) = >_ i tu Ui(as , y), 



si avrà che la serie 



(8) ^(a; , y) , /^(a; , y) , ... 



è convergente in media nel campo <f. Infatti si ha: 



)/*+«(« > y) — /*(* » «/) I 2 ^ % = 



= J ^ f Ui(« , y) [ dxdy= Y i a? . 



Di guisa che, in virtù del teorema di Weyl ( 1 ), sarà possibile trarre (ed in 

 infiniti modi) dalla serie (8) una serie parziale: 



/"„, (x, y),f n ,(x, «/),... 



la quale converga uniformemente in generale nel campo <r, verso una unica 

 funzione f(x , y) sommabile nel campo a insieme ( 2 ) al suo quadrato e al 

 prodotto di essa per una qualsiasi altra funzione <p[x , y), pure sommabile 

 insieme al suo quadrato nel campo a. In particolare si avrà: 



I f(x ,y)TJi(x ,y) dx dy = lim fn p (x ,y)Ui{x , y)dxdy = ì\m a f = a t ; 



s/ <J p=oo J ts p=oo 



e quindi si potrà scrivere, per qualunque valore dell'indice i: 

 \f(x , y) — K(x , y){ XJi(x ,y)dxdy = 0 . 



J 



Da questa formola risulta, se la serie (7) è chiusa, 



K{x , y) = /"(^ , y) 



in tutto il campo e, eccettuati al più i punti di un insieme di misura nulla. 



Se la serie (7) non è chiusa, indicando con O^cc , y) , 0 t (x , y) , ... le 

 soluzioni effettive comuni alle equazioni: 



6(x ,y)Ui{x,y)dxdy = 0, (« = 1,2,3, ...) 



J ts 



(') Questo teorema (Mathematische Annalen, Bd. LXVII, 1909, pp. 225-245; vedi 

 pure Michel Plancherel, Contribution à Vétude de la représentation d'une fonction arbi- 

 traire..., Kendiconti del Circolo Mat. di Palermo, t. XXX, 1910) vale senza modificazioni 

 essenziali (nè nel contenuto, nè nella dimostrazione) per le funzioni di due o più varia- 

 bili indipendenti. 



( a ) Cfr. Lauricella, Sulla risoluzione dell'equazione integrale di 1" specie, § 3, 

 pag. 533 (Eendiconti della R, Accad. dei Lincei, seduta del 23 aprile 1911). 



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