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e supponendo che la funzione K{x,y) soddisfaccia alle condizioni: 



(9) | K(x , y) e 5 {x ,y)da:dy = 0, (/ = 1 , 2 , 3 , ...) 



si avrà ancora, come è facile dimostrare ('), 



K(x , y) = f(p , y) 



in tutto il campo <r, eccettuati al più i punti di un insieme di misura nulla. 

 Osserviamo che si può scrivere: 



f{x , y) = f ni {* , y) + )A.0« 1 2/) — i y)( + 



ossia : 



ni "a 



(10) K(cc , y) = «v U v (as , y) + ^ ' ^ + "" 



Osserviamo ancora che, per la validità della (10), le condizioni (9) sono 

 anche necessarie. 



Kiepilogando, si ha il seguente teorema : se la funzione K{x , y) è som- 

 mabile nel campo e insieme al suo quadrato, e se, nel caso in cui la 

 serie (7) è non chiusa, soddisfa inoltre (come è necessario) alle condi- 

 zioni (9), sarà sempre possibile, ed in infiniti modi, determinare una 

 serie di numeri, interi positivi e crescenti indefinitamente, n x ,n 2 ,n 3 , ... , 

 in modo che si abbia la (10) e che la serie al secondo membro sia in 

 tutto il campo a, convergente uniformemente in generale. 



Come conseguenza del teorema di Weyl si ha ancora, indipendentemente 

 dal teorema precedente, che se in un campo & di misura non nulla, fa- 

 cente parte di ff, la serie f v a,U,(x,y) converge, avrà per somma nei 

 punti di a' la funzione ~K(x , y). 



§ 3, — Sviluppo di un nucleo in serie 

 delle corrispondenti autofunzioni . 



Sia K{x , y) una funzione sommabile insieme al suo quadrato nel campo 

 g = (a<x & , a <y <. è) ; e sia, conformemente alla teoria di Schmidt, 



g>i(x) , f i{y) ; 9>t{x) < «My); - 



la serie finita od infinita di coppie di funzioni ortogonali, e 



X\ , K% , ... 



(•) Cfr. Lauricella, loc. cit., § 4; ed inoltre: Sopra gli sviluppi in serie di funzioni 

 ortogonali, § 8, Bendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXIX, anno 1910. 



