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per il fissato valore generico di & sarà convergente in media nel campo 



a <. x <. b. 



A fortiori sarà convergente in media la sene parziale: 



(11) /»,(<» y&) y) ' - 



Quindi, in virtù del teorema di Weyl, potrà trarsi da questa serie 

 una serie parziale: 



(12) /«, (a? .'%)■'> M a> >y)ì-i 



la quale convergerà uniformemente in generale nel campo a^x < b verso una 

 funzione cp(x , y) ; ed inoltre, supposto sempre fisso il valore di y, per tutti 

 i valori di x per i quali la serie (11) converge, ossia per tutti i valori 

 di x per i quali la funzione f(x,y) è definita dalla serie (10)', si avrà: 



f{x,y) = (p(x,y). 



Noi ci serviremo di questa formola per determinare la f{x , y) in quei 

 punti del campo a < x < b nei quali eventualmente, mentre la q>{x , y) 

 è determinata dalla serie (12), la serie (10)' non è convergente e perciò la 

 fix y) è indeterminata. In questo modo, pei- il fissato valore di y, si potrà 

 scrivere per tutti i punti x del campo ab , esclusi al più i punti di un 

 insieme di misura nulla, 



x ^ <p.( x)xp,{y) , P <p->(x) ip,(y) , ... 

 f{x,y) = <f{x y) = >_s £ h^*" 



Si può osservare che la serie al secondo membro di questa formola, 

 moltiplicata per una qualsiasi funzione sommabile insieme al suo quadrato 

 ed insieme al prodotto di essa per tutte le g>,(x) nel campo a< x < b, 

 è integrabile termine a termine rispetto ad x nel campo ab. 



Ciò premesso, si dimostra, ripetendo noti ragionamenti di Schmidt (>), 



che se Ina: 



> v 2 r Z> 



(i3) K(*,y)-fl*.y)-I« — e — +-4: ^ + 



fe fctóto « tf««j)o tf, escto a/ più i punti di un insieme di misura su- 

 perficiale nulla. . 

 Possiamo inoltre notare che, se in un campo a', di^ misura superficiale 



non nulla e facente parte di & la serie «sM^M converge, si avrà 

 nei punti di <s' : . . . 



K(as , y) = 2_n 7 ' 



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O Loc. cit., § 8, § 16. 



