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Aggiungiamo ancora che, in virtù di un recente teorema di Egoroff 



la serie — — nel campo <s\ nel quale per ipotesi è convergente, 



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convergerà uniformemente in generale. 



Dal risultato contenuto nella forinola (13), segue come corollario che: 

 («) se due funzioni K(x . y) , K'(x , y) (sommabili insieme coi loro qua- 

 drati nel campo e e nel campo a <. x <.b per ogni valore di y, nel 

 campo a <.y <.b per ogni valore di x) hanno le medesime coppie di 

 funzioni ortogonali, corrispondenti alle medesime costanti, coincidono. 



Ciò premesso, sia X x , X 2 , — una serie di costanti, alcune delle quali 

 (in numero finito) possono anche coincidere tra di loro, tale che la serie 

 °°- 1 



^ v sia convergente. Alla serie ^ , A 2 , ... si faccia corrispondere una 

 qualsiasi serie di coppie di funzioni ortogonali: 



(u) spi(^) , ; 9>*( x ) < ; ••• 



In virtù del teorema di Weyl e di quanto precede, si ha che: (/?) si 

 può determinare, ed in infiniti modi, indipendentemente dalle (14), una 

 serie di numeri interi positivi e crescenti indefinitamente ni , n t , ... , in 

 modo tale che la funzione f(x , y), determinata dalla serie 



abbia per coppie di funzioni ortogonali la serie (14), e per corrispondenti 

 valori costanti le A x , A 2 , ... In virtù poi del precedente teorema di unicità 

 («), risulta che la funzione f(x , y) , così determinata, è la sola funzione 

 (sommabile insieme al suo quadrato nel campo e, e nel campo a<^x<-b 

 per ogni valore di y, nel campo a <.y <_ b per ogni valore di x) la 

 quale abbia per coppie di funzioni ortogonali quelle della serie (14) e per 

 corrispondenti valori costanti le % x , 1 2 , ... 



§ 4. — Risoluzione dell'equazione integrale ('). 



Data una funzione simmetrica TL(x , y), sommabile insieme al suo qua- 

 drato nel campo e, tanto superficialmente quanto linearmente, siano X x , X 2 , ... 

 i suoi autovalori e 



(15) (pi(x) ,(p 2 {x) , ... 



(') Comptes rendus, t. 152, n. 5, 30 janvier 1911. 



