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le corrispondenti autofunzioni normalizzate. Supponiamo che esista una fun- 

 zione simmetrica K(x,y), sommabile insieme al suo quadrato superficial- 

 mente e linearmente nel campo e, tale che: 



(1) Kn(# , y) = H(x , y) . 



In virtù del teorema al § 1, si ha che, se n è dispari, gli autovalori 

 della funzione K(x , y) saranno dati dalle serie J% , J/A 2 , ... (intendendo 

 per ]/Ti la radice reale n esima di % e la serie delle corrispondenti autofun- 

 zioni sarà la (15) stessa; se n è pari, le %i , h , - dovranno essere tutte 

 positive, e gli autovalori della funzione K(x,y) dovranno essere quelli di 

 una delle oo 2 serie, corrispondenti alla scelta dei segni, 



— ? — y ^2 i ••• 5 



e quindi, in virtù della disuguaglianza di Bessel, si avrà che, tanto nel caso 

 di n pari, quanto in quello di n dispari, la serie: 



(16) 



dovrà essere convergente. 



Viceversa, si supponga la (16) convergente. Allora, se « è dispari, in 

 virtù del teorema (/?), dovrà potersi determinare, dipendentemente solo dalla 

 serie 2, , A 2 , ... , una serie di numeri interi e positivi crescenti indefinita- 

 mente ti! , « 2 , ... , tali che la serie 



(17) f(%,y)= >_v — ri= r 2_* »/r + 



sia convergente uniformemente in generale nel campo <r, e cheja f(x , y), 

 che essa rappresenta, abbia per autovalori le costanti , n \'K , ... e per 

 corrispondenti autofunzioni le ^(j?) , sp 2 (#) , - ; quindi, in virtù del teorema 

 al § 1, la funzione f{x , y) sarà una soluzione dell'equazione integrale (1), 

 e, in virtù del teorema (a), sarà l'unica soluzione di tale equazione. 

 Nel caso di n pari, indicate con 



le p autofunzioni linearmente indipendenti del nucleo H(a? , y); corrispondenti 

 ai jtt autovalori uguali al», e indicati con 



di\ •■• a\\x 

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