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gli elementi della più generale sostituzione ortogonale di ordine ^ , ossia il 

 più generale sistema di numeri a rs tali che si abbia 



J a a __ j 1 per r = s , 

 (0 per r ={= s , 



si ponga: 



v- 



Le ìp^x) , , ... costituiranno un sistema di funzioni ortogonali ; 

 e, in virtù del teorema (/?), si deve poter determinare, ed in infiniti modi, 

 indipendentemente dalle ip r (x), una serie di numeri interi positivi e cre- 

 scenti indefinitamente n x , n 2 , ... , tali che la serie 



(18) f{ Xì y ) = f^ x PMlMj r fV : (*)^y) _j_ , 



1 — \/K «~i -t ]/ x H 



sia convergente uniformemente in generale nel solito campo a e che abbia 

 per autofunzioni^le ip^x) , xfj z (x) , ... , corrispondenti rispettivamente agli 

 auto valori ± , -j= ]/T 2 



In causa dei segni =t le possibili serie di autovalori sono oo 2 . Per ogni 

 serie di possibili autovalori si hanno poi vari nuclei f{x , y), corrispondenti 

 ai vari sistemi delle a rs che si possono considerare. È da osservare, però, che 

 non tutte le f(x , y) corrispondenti a due diversi sistemi di a rs sono diverse. 

 Così, ad_esempio, nel caso in cui per sistema di autovalori si prende la serie 

 fli , yXi,:.. con i segni tutti positivi, si ha sempre, qualunque sia il si- 

 stema delle a rs , un unico nucleo: infatti le autofunzioni corrispondenti ad 

 uno stesso autovalore sono sempre una combinazione lineare delle g>j(x) 

 corrispondenti; sicché, in questo caso, tutte le f(x , y), che per ipotesi hanno 

 gli stessi autovalori tutti positivi, hanno ancora le medesime autofunzioni; 

 e quindi, in virtù del teorema (a), coincidono. Il medesimo fatto si verifica 

 allorché si prende la serie degli autovalori — 7^ , — yT 2 , ... Lo stesso 

 non si può ripetere però negli altri casi, nei quali alcuni autovalori si pren- 

 dono positivi ed altri negativi; benché anche qui in generale il numero 

 delle funzioni f(x , y) distinte è inferiore all'ordine di arbitrarietà dei coeffi- 

 cienti a rs . Comunque, poiché tutti i nuclei f(x , y), dati dalla formola (18), 

 hanno per autofunzioni le ip^x) , f^w) , ... , i loro nuclei reiterati di or- 

 dine n. mentre hanno per autovalori le ^ , X 2 , ... , avranno per autofunzioni 

 corrispondenti le ip^x) , ip 2 (x) , ... ; ed ancora, poiché le tp { (x) corrispon- 

 denti ad un certo gruppo di valori Xi uguali fra di loro, sono espressioni 

 lineari ed omogenee, linearmente indipendenti, delle tj>i(x) corrispondenti 



