L'Hurwitz dava nel 1899 una proposizione ('), facente riscontro ad un 

 noto teorema dell'Hadamard, dal quale risulta, almeno nel caso delle singo- 

 larità polari, « che se le serie 



«sono gli sviluppi Bell'intorno di x = co di due funzioni analitiche uni- 

 ti formi, singolari rispettivamente nei punti e qj, la serie 



'x n 



« rappresenta una funzione analitica regolare per x = co, le cui sole singo- 

 li larità sono nei punti jJ;-f- cjj », teorema eh" io ho dimostrato poi in altro 

 modo ed esteso alle singolarità più generali ( 2 ). Mi propongo qui di dimo- 

 strare il teorema per il caso in cui gli sviluppi (1) non siano più conver- 

 genti, ma rappresentino assintoticamente due funzioni tx(x) , @(x), ora non 

 più regolari per x = co , le quali tendano a zero almeno del prim'ordine 

 quando x tende all' infinito in tutte le direzioni del piano, una sola eccet- 

 tuata che sia per esempio quella nel senso dell'asse reale negativo. Con- 

 sidererò per semplicità il caso speciale che tanto a(x) che /?(#) abbiano al 

 finito un solo punto singolare, p per la prima e q per la seconda, ma l'e- 

 stensione ad un caso più generale non presenterebbe difficoltà essenziale. 



Poniamo x = '§-\-ir n e sia 6 un angolo compreso fra — — e — . Per 



Ci ù 



le ipotesi fatte, è noto che a(x) e fi(x) ammettono le funzioni generatrici 

 rispettive a(u) , b(u), tali che nel semi-piano i cui punti (f , rj) verificano 

 rispettivamente le condizioni 



f cos 0 — ri sen 6 ^> ó , £ cos 0 — rj sen 6 ^> ó' 

 le a(x) , p(x) sono espresse da (fi 



e nx a{u)du , /?(#)= e" x b(u)du, 



0 «-^ 0 



6 e d' essendo determinati in modo che le rette di equazione 

 (2) £ cos d — ì] aen 0 = ó , £ cos 6 — rj sen 6 = ó' 



passino rispettivamente per i punti p e q ( 3 ). Sotto condizioni note per le 



(') Comptts rcndus de l'Acadéinie des sciences, 6 février 1899. 



( 2 ) Questi Rendiconti, 5 marzo 1899 e 2 giugno 1906. 



( 3 ) V. la mìa Nota nei Rendiconti dell'Acc. di Bologna, 29 novembre 1903. 



