dove k è la curvatura assoluta di 8 in A . Riguardo a questa k supporremo 

 che essa sia finita in ogni punto; essa potrà presentare discontinuità ordi- 

 narie nel passaggio attraverso linee della superficie. 



Se la superficie è a curvatura negativa, la (1) dimostra che la deri- 

 vata ~~ è, in ogni punto, dello stesso segno di g, e quindi la — è cre- 

 scente finché g ^> 0. D'altra parte, in causa delle (2), la g assume valori 

 positivi per valori abbastanza piccoli di <r. Dunque per ogni valore di e 



(eccettuato a = 0) sarà 1, e g^> 0. 



Riguardo alle superfìcie a curvatura positiva, ovvero in parte positiva 

 in parte negativa, ci varremo della espressione di g 



(3) g = R sen — -f- R g x (ki — k x ) sen — - — dx 



ti J o -CVi 



data nella citata Memoria, dove k x è una quantità positiva finita qualsiasi 

 ed R = 1 : ]/k x ; g x e k x indicano le espressioni di k e g, ove in luogo 

 della lettera a si ponga la x. La (3) dimostra che, se la curvatura k si 

 mantiene algebricamente inferiore a k x , la g non può annullarsi per un 

 arcò e <. 7tR . Derivando la (3) abbiamo 



~òg à f- a . a — x , 



nella ipotesi fatta riguardo a k, la — non può annullarsi per un arco 



la quale (insieme colla osservazione ora detta riguardo a g) dimostra che, 

 nella ipotesi fatta rig 

 ff <_ 7rR : 2 , ossia per 



(4) «r'<^,. 



Quando, pertanto, la superficie non sia tutta a curvatura negativa, inten- 

 deremo che gli archi di geodetica da prendere in considerazione siano, in 

 lunghezza, limitati secondo la (4). 



Con questa limitazione la curvatura geodetica, nel punto A, della cir- 

 conferenza geodetica di centro P, espressa da 



- h^lìZ-, 

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sarà finita e negativa in ogni punto (eccettuato in P). 



Si consideri ora una seconda superficie, o porzione di superficie, Sj , 

 sulla quale assumiamo un punto P ( come polo di coordinate polari e fac- 

 ciamo corrispondere al punto A(c , a) della S il punto A, di eguali coordi- 



