nate cr,a. Indichiamo, pel punto A,, con K,G,H le cose analoghe alle 

 k ,g , h. Posto 



avremo 



Ora il prodotto #GD si annulla per a = 0. Esso sarà quindi positivo 

 per ogni valore di e se si suppone K > k . Se dunque supponiamo che la 

 curvatura assoluta della Si sia, in ogni punto dell'arco Ai Pj , maggiore di 

 quella della S nel corrispondente punto dell'arco AP, la curvatura geodetica 

 in A della circonferenza di centro P sarà, in valore assoluto, maggiore di 

 quella della corrispondente circonferenza in k x . E, tenuto conto del segno, 



(5) A<H. 



3. Sopra la superficie S si assuma ora un sistema di coordinate bipo- 

 lari, indicando con u e v le distanze geodetiche del punto generico M da 

 due punti fissi A e B . Ove la superficie non sia tutta a curvatura negativa, 

 la intenderemo limitata in modo che nè u, nè v superino il limite fissato 

 dalla (4). Allora per le cose dette nel § 6 della citata Memoria, due punti 

 della regione così limitata saranno collegati da una sola geodetica. Chia- 

 mando d l'angolo in M del triangolo A MB , l'espressione del quadrato del- 

 l'elemento lineare sarà 



, „ du 2 — 2 du dv cos 6 -4- dv 2 



ds 2 = — ! . 



sen 2 0 



Poiché l'angolo 6 non può assumere i valori 0 e n, all' infuori dei punti 

 della geodetica AB ('), il reticolato delle linee coordinate sarà regolare in 

 tutta la regione della superficie che si ha da considerare. La curvatura geo- 

 detica della linea u = cost (circonferenza geodetica di centro A), per la for- 

 mula generale 



h - 1 Ji/IL^ 



j/EG — P 2 \1/Gtj ~òu 



saia 



h u = — -f- cotg 6 — . 



sen e ~òv 1 8 ~òu 



(') Se fosse 0 = 0 fuori della geodetica AB, un punto e la tangente in esso deter- 

 minerebbero due differenti geodetiche, il che si esclude. Se fosse 0 = n, gli archi u , v 

 sarebbero per diritto fra loro e i punti A , B risulterebbero collegati da due differenti 

 geodetiche. 



