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il chè vuol dire che la ellisse geodetica passante per un punto qualsiasi 

 dovrà intersecare la geodetica AB in punti fuori dell'arco AB = c, e ogni 

 iperbola geodetica dovrà intersecare la AB in un sol punto entro l'arco 

 stesso AB. È poi evidente che i punti di intersezione di una ellisse geode- 

 tica colla AB non possono essere più di due. 



Ciò posto per il punto M considerato si immagini tracciata la iperbola 

 geodetica i la quale intersechi in M 0 l'arco AB. Lungo l'arco M 0 M della i 



la variabile a cresce da c ad u -f- v e poiché il rapporto da : dsi = 2 cos - 



di 



(intendiamo con s, la lunghezza d' arco della i) non può annullarsi fuori 

 che in M 0 , per quanto si è detto riguardo all'angolo 0, la a dovrà conti- 

 nuamente crescere da M 0 ad M. 



Integrando allora la (7) lungo l'arco M 0 M ed osservando che in M 0 

 si ha 6 = 180° , a = e, avremo 



e ì r u+v 



(9) logsen- = -J^ (h„ -\- h v ) da. 



Per una seconda superficie S, , la cui curvatura sia in ogni punto non 

 minore del massimo della curvatura di S, consideriamo il triangolo A,M 1 B, 

 del quale i lati sono 



AiB, = tf AiM,=m M,Bi = ». 



Indicando con H M H t . le cose analoghe alle h u h v , e con 0 l'angolo A 1 M,B, 

 avremo 



0 1 C u+V 

 log sen — = - J (H„ -]- H„) da 



la quale paragonata colla (9), e, tenuto conto della (5), dimostra che 



0<0. 



Il teorema enunciato al n, 1 è così dimostrato. 

 5. Analogamente alla forinola (9), può scriversi la 



e i r 



(10) log cos - = - J (hu — K) dp , 



la quale si ottiene integrando la (8) lungo l'arco M, M di ellisse geodetica, 

 fra il punto M, in cui questa interseca la geodetica AB oltre B (nel quale 

 punto 6 = 0 , — c) fino al punto M . 



Nel caso della sfera di raggio 1, posto 



K = — cotg u = cotg | (a -J- /?) 

 h v = — cotg v = — cotg \ (a.— §) , 



