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 Sia s„ quella delle n linee s; che racchiude tutte le altre. Rendiamo 

 semplicemente connessa la sezione a mediante a — 1 tagli congiungenti i 

 punti Pi , P 2 , ... , P„_ ; delle linee s x , s 2 , ... , s„_i , coi punti Pj , P 2 , ... P,' t _i 

 della linea s n . 



Le tensioni r n , r 12 , ... , quindi per le formule (1) e (2), le derivate 

 prime della g> e le derivate seconde della (P, dovranno esser funzioni ad 



nn sol valore, in tutti i punti di e; mentre </> , — , — potranno aver va- 



~*ÒX uV 



lori diversi dalle due parti dei tagli. 



. . ~ò<I> ì# 



Le formule (11) esprimono la condizione che le funzioni <p , — , — 



~òx ~òy 



devono aver dei valori costanti in ciascuno dei segmenti in cui le n linee 

 chiuse Si sono divise dai punti P che limitano i tagli. 



Ma le ìi — 1 linee s, , s 2 , ••• , s,,_i contengono ciascuna un sol punto P : 



~ò<2> 7ì<2> 



quindi per ognuna di esse le tre funzioni cp , — - , — dovranno ridursi a 



~òx ~òy 



delle costanti. 



Poiché le derivate prime della y>, e le derivate seconde della <P sono 

 funzioni ad un sol valore in tutti i punti di cr, la differenza fra i valori 



di (f , — , — dalle due parti di un taglio P; P; dovrà essere la stessa 

 ~òx ~òy 



in tutti i punti del taglio, e quindi nulla, essendo nulla nel punto Pi che 

 appartiene ad una delle n — 1 linee interne s { , s 2 , ... , s„_i . 

 ~ò<I> ~ò<I> 



Dunque anche a> , — , — sono funzioni ad un sol valore in tutti i 



punti di e, compresa la linea s„ . E in una qualunque S; delle n linee 

 Si , s 2 , ... , s n dovrà essere 



<P = Qi 



< 12) ' 



ove qi , <Zj , hi rappresentano, per la linea s t , delle costanti. 



Dalle formule (12) si ricava (assegnato convenientemente un verso posi- 

 tivo a ciascuna linea S;) : 



7)<£ , ~òx . , 7)?/ ~ò(ai%4-biy) 

 — = b, cos a — ai cos p = Oi — -f- bi — ^ = J — 



~òSì ~òSi ~òSi ~òSi 



ossia: 



— ajX — bili) q 



~ÒSi 



Con un ragionamento analogo al precedente troveremo che: — aix — 

 — biy deve essere una funzione ad un sol valore in tutti i punti di tf, e 



