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Dans la quatrième de ses Notes, M. Beppo Levi a bien voulu reproduire 

 ces neuf lignes, mais il formule maintenant contre mon raisonnement une 

 objection entièrement nouvelle. Et comme cette objection, si elle était fondée, 

 frapperait de suspicion tous les énoncésque j'ai donnés concernant le pas- 

 sage d'un nombre derive à sa fonction primitive, la de'rivation des intégrales 

 indéfinies et la rectification des courbes on comprendra que, sans vouloir plus 

 que M. Levi faire de la polémique, je tienne à défendre mes résultats. D'au- 

 tant plus que le procede qui m'y a conduit et que M. Beppo Levi met 

 en question me paraìt pouvoir ètre utile pour d'autres recherches et qu'en 

 tous cas il m'a fourni des résultats, non encore publiés, généralisations de 

 ceux dont il s'agit ici, concernant la dérivation seconde des intégrales doubles 

 et la quadrature des surfaces. 



Pour montrer nettement que l'objection de M. Levi ri est nullement 

 fondée, je dois reprende la question : il s'agit, sous certaines conditions, de 

 démontrer que la variation totale d'une fonction continue est l'intégrale de la 

 valeur absolue de l'un de ses nombres dérivés. J'avais tout d'abord ramené 

 la question à la démonstration de l'égalité des limites de deux séries in- 

 finies à termes positifs 2\k\ m(eì) , 2\k\ m(Bì) . Mon procede primitifde com- 

 paraison fut trouvé, et avec raison, incorrect quand les nombres dérivés sont 

 finis sans ètre bornés, mais, dans l'addition dont j'ai parie, j'ai établi, pour 

 tous les cas, l'inégalité 



XI l » I m i e n) — s < 2 1 In | ^(B,,) < ^ | k \ + * , 



dans laquelle 2' désigne une somme étendue aux K premiers termes et e un 

 nombre positif. K et e sont arbitraires, indépendamment l'un de l'autre, 

 l'égalité des limites est donc démontrée. 



M. Beppo Levi, abandonnant cette question d'égalité de limites, se de- 

 mande maintenant s'il est bien vrai que 2\l n \m(B n ) soit, comme je l'avais 

 dit, une valeur approchée de la variation totale tendant uniformément vers 

 cette variation quand e tend vers zèro. Cette objection est toute nouvelle 

 car elle infirmerait mon raisonnement, non seulement dans le cas où l'un 

 des nombres dérivés n'est pas borné, mais méme dans le cas où ces nombres 

 seraient bornés; et non seulement elle infirmerait mes raisonnements mais 

 elle infirmerait aussi en grande partie ceux de M. Levi. 



Je citerai entre guillemets les raisonnements de mon livre. Je m'excuse 

 de me citer moi-méme aussi souvent, mais on verrà que j'avais répondu dans 

 mon livre à toutes les critiques formulées à son sujet par M. Levi. 



« Soit une fonction f(x) bornée ( x ) défìnie dans un intervalle positif fini 

 (a, b). Partageons (a,b) à l'aide des points 



a n = a — ai — a 2 . . ■ ~ a n = b : 



(') « Il est d'ailleurs évident que toute fonction non bornée ne peut satisfaire aux 

 définitions qui suivent». 



