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la somme 



v - f((h)\ + | A$) - A*0 ! + • • • + 1 A*0 - A«n-x)l 



est ce que l'on appelle la variation de f(x) pour le système de points 

 Si, quel que soit le système de points de division, v est 

 bornée, la fonction est dite à variation totale finie ou, simplement, à va- 

 riation bornie; la variation totale étant, par défmition, la plus grande li- 

 mite de v quand le maximum X de la longueur des intervalles partiels em- 

 ployés tend vers zero. Il est à remarquer que si, entre les points de division 

 choisis, on intercale de nouveaux points, on augmente v ou, du moins, on 

 ne le diminue pas; en intercalant ainsi indéfiniment de nouveaux points, de 

 manière que X tend vers zero, od a une suite de nombres v tendant vers 

 une limite, fìnie ou non, qui est au moins égale au nombre v dont on est 

 parti. On peut donc dire que la variation totale de / est la limite supérieure 

 de l'ensemble des nombres v (') 



« Pour les fonctions continues on a cette propriété : la variation clune 

 fonction continue, relative à une division quelconque, tend uniformément 

 vers la variation totale de cette fonction quand le maximum X de la lon- 

 gueur des intervalles employés tend vers zèro. 



n Soient, en effet, deux suites de divisions L\ , D 2 . . . ; di , J % , . . . pour 

 lesquelles les X tendent vers zero, et soit Xj la valeur de X pour Jj. Le 

 maximum de l'oscillation de f(x) dans un intervalle d'étendue Xj est un 

 nombre sj qui tend vers zero avec Xj . Comparons les variations Vi , v] rela- 

 tives à Dj et Jj. 



t Les intervalles de Jj étant toujours partagés en deux classes, soient d' 

 ceux qui ne contiennent aucun des points de di vision de D;. Considérons 

 tous ceux des d' qui sont entre Xi et Xi +Ì , ils couvrent un intervalle dont 

 l'origine est entre Xi et xt -f- Xj et dont l'extrémité est entre Xi+i — Xj et Xi+i . 



Les valeurs de f(x) pour cette origine et cette extrémité différent de 

 €j au plus des nombres f(xi) , f(xi+f) . La contribution dans v) des inter- 

 valles considérés est donc au moins 



\f{xM-f{x^-%B ì 



et la contribution de tous les a" dans v) est au moins égale à 



SCIALO - #01- 2f J = Vi - 2m 



si les points de division de D £ sont en nombre ». On a, à plus forte raison, 



Vj !& Vi — 2n £j 



et l'une quelconque des limites des v) est au moins égale à l'une quelconque 

 des limites des vi. Mais on peut permuter v] et vi, donc les v) et les y< 

 tendent vers une mème limite bien déterminée ». 



(') « Et non plus la limite supérieure de la limite des nombres v». 



