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Ce que je viens de eiter est tire des pages 49-50, 52-53 de monlivre; 

 M. Beppo Levi a dono raison de dire qu'à ces pages je suppose essentielle- 

 ment que les divisions dont je m'occupe ne contiennent qu'un nombre fini 

 de points. Qu'arrive-t-il quand elies en contiennent une infinite ? Les pro- 

 priété restent-elles vraies? se demando M. Levi. 



Pour avoir la réponse à cette question il suffisait de tourner le feuillet 

 et de lire, aux pages 54-55: « La variation y, pour la division D, a été 

 définie seulement dans le cas où D ne contient qu'un nombre fini d'intervalles ; 

 pour la suite, il est utile d'étudier un cas où D comprend une infinité d'in- 

 tervalles. C'est le cas où les points de division de D forment un ensemble 

 réductible E; alors nous appellerons variation u, pour cette division, la 

 somme de la serie 2\f{xì) — f(&i-i)\i étendue à tous les intervalles {xui ,xì) 

 contigus ( l ) à E. 



«■ Nous allons comparer l'ensemble des variations u qui viennent d'étre 

 dérinies à l'ensemble des variations v antérieurement définies. 



« L'ensemble des u contient l'ensemble des v, doncla limite supérieure 

 de l'ensemble des it est au moins égale à la limite supérieure de l'ensemble 

 des v. Il suffira de démontrer que u est toujours inférieure à la variation 

 totale pour qu'il soit prouvé que la limite supérieure des u est la variation 

 totale V. 



« Soit {a , (i) un intervalle contigu à E'. Soient a x et ^ deux points situés 

 dans la contribution de dans u est au plus égale à celle 



qu'il fournit dans V, puisque E ne contient qu'un nombre fini de points dans 

 (ai,/?i). Faisons tendre a, et /?i vers a et/?, la proposition reste vraie et 

 l'on trouve que (a , /?) fournit dans V une contribution au moins égale à 

 celle qu'il donne dans u ( 2 ). 



« On prouvera de meme que la proposition est vraie dans un intervalle 

 contigu à E" ou E'", ... ; mais l'un des dérivés de E étant nul dans (a,b), 

 la proposition est vraie pour (a , b). 



■ « Ainsi les u peuvent remplacer les v . 



« Lorsqu'il s'agit d'une fonction continue, le nombre u , comme le nombre 

 v, tend uniformément vers la variation totale, quand le maximum X de la 

 longueur des intervalles contigus à E tend vers zèro » . 



Par conséquent je n'ai pas negligé de regarder ce qui se passe quand 

 les points de division sont en nombre intìni. Il est vrai que la dernière pro- 



(') « Un intervalle (a7ì_i , osi) est dit contigu à un ensemble E s'il ne contient pas de 

 points de E et si ses extrémités font partie de E ou de E'. La dénomination d'intervalle 

 est due à M. E. Baire ». Les intervalles contigus à un ensemble étant en nombre fini ou 

 dénombrable la sèrie Z\f(xì) — f(a>ù-i)\ a un sens bien net indépendant de la facon dont 

 on range les intervalles contigus en suite dénombrable simplement infinie. , 



( 2 ) Il faudrait ajonter ici que «, et /?, doivent faire partie de E et dire que dans 

 certains cas, k, peut étre avec a et (Si avec /S. 



Bendiconti, 1907, Voi. XVI, 1° Sem. 13 



