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position est seulement affimiée; pour désarmer tout scepticisrne je vais in- 

 diquer sa démonstration. 



Soit une division D correspondant à un ensemble réductible E et à un 

 certain maximum X. En choisissant convenablement un nombre fini de points 

 de E j'ai une division D' correspondant au mème nombre X. Soient u et v 

 les variations relatives à D et à D'. Soit (a , b) un intervalle intervenant dans 

 D', je dis que sa contribution dans u n'est pas inférieure à sa contribution 

 dans v. Cela est évident si, dans (a, b), il n'y a qu'un nombre fini de points 

 de E ; s'il y en a un nombre infini, mais un nombre fini de points de E', on 

 le verrà par un raisonnement analogue au précédent. On passera de là au cas 

 ou E'" serait nul dans (a , b), etc — (a , b) étanf un intervalle quelconque 

 de D' on a u >. v . Donc v <. u < V, et puisque v tend vers V, quand X 

 tend vers zero, la proposition est démontrée. 



Au paragraphe 9 de sa quatrième Note, M. Beppo Levi montre que 

 pour calculer la variation totale d'une fonction continue non constante mais 

 à traits d'invariabilité partout denses on ne peut employer une division qui 

 utilise toutes les extrémités des traits d'invariabilité. Cela n'est pas en con- 

 tradiction avec ce qui précède car, comme le remarque M. Levi, les points 

 de division forment un ensemble irréductible et cela démontre seulement 

 que les propriétés démontrées ne peuvent pas toujours étre étendues à tous 

 les ensembles. C'est là une remarque qui n'est pas nouvelle pour moi, 

 j'écrivais en effet à la page 55 de mon livre: 



« Il est important de remarquer qu'on ne peut pas remplacer l'ensemble 

 réductible E par un ensemble non dense quelconque sans que certaines des 

 propriétés précédentes cessent d'étre vraies. 



« Soit, en effet, la fonction £(x) définie par 



2£ W j 2 + ¥ + 2" 3 + ' ' ' ' 



quand 



X ~ 3 ^ -ò- ^ 3 :i ^ " - ' ' 



où les a sont égaux à 0 ou à 2. ce appartient alors à l'ensemble Z. On 

 vérifie immédiatement que, pour les deus extrémités d'un intervalle contigli 

 à Z, J prend la méme valeur; nous assujètissons £ à rester constante dans 

 un tei intervalle. est maintenant partout définie; c'est une fonction 

 croissante et, cependant, on trouvera zèro pour u , si, parmi les points de 

 division employés, se trouvent les points de Z ». 



Ainsi j'avais fait la mème remarque que M. Levi et je l'avais légitimée 

 par le méme exemple. Pour que cet exemple puisse m'ètre opposé il fautque. 

 j'aie oublié de me conformer à mes propres prescriptions ; voyons donc comment 

 est obtenue cette valeur approchée Z\l„\ m(B n ) de la variation totale. 2\l„ \ m(B n ) 



