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ne diffère que par une quantité qui tend uniformément vers zero avec s de 

 la variation u calculée à l'aide d'une chaine d'intervalles. 



J'ai definì les mots chaine d'intervalles, après avoir fait une première 

 application de la chose, à la page 63 : « J'appelle l'attention sur la construction 

 employée dans la démonstration précédente. 



« Je suppose qn'un procédé, permettant de construire un ou plusieurs 

 intervalles ayant pour origine un point quelconque t 0 , ait été indiqué. Je 

 dirai qu'un intervalle (a , b) a été couvert, à partir de a, par une chaine 

 d'intervalles choisis parrai les intervalles définis par le procédé donné, lors- 

 qu'on aura Constant par ce procédé un intervalle (ti , t 2 ) d'origine t x = a, 

 puis un intervalle (U,U) d'origine t 2 , etc, puis, si cela est nécessaire, un 

 intervalle (té, t^+ì) dont l'origine est la limite de ti, ti,..., et ainsi de 

 suite. Il a été démontré qu'on arrive nécessairement à atteindre b au bout 

 d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'opérations, de sorte que la 

 chaine construite couvrira bien tout (a, b) ». 



Et à la page 62, au sujet des points de divisions de la chaine, je disais : 

 « L'ensemble des valeurs t x ,t 2 ... est réductible, puisqu'il est fermé et dé- 

 nombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées pour évaluer la longueur 

 de la courbe ». Car j'avais étendu à la rectification des courbes les pro- 

 priétés, ci-dessus rappelées, relatives au calcai de la variation totale. 



De cet exameu minutieux il remile que je ri ai donné aucun prétexte 

 à l'objection de M. Levi; que l'exemple da % 9 de sa quatrième Note ne 

 petit nidlement métre oppose parce quii est faux d'aflìrmer, corame le 

 fait M. Levi aux pages 367-368, que le sy stèrne d'intervalles de ce pa- 

 ragraphe soit completamente assimilabile aux chaines que femploie. L'er- 

 reur de M. Levi vient de ceci : 



Dans ma première Note j'ai cru devoir expliquer le terme un peu étrange 

 de chaine d'intervalles, quand il s'est présente dans une citation de mon livre, 

 en écrivant: C'est-à-dire une suite d'intervalles n'empiétant pas les uns sur 

 les autres et tels que chacun d'eux ait pour origine l'extrémité du précédent 

 ou la limite des extrémités des précédents. Si (t x , t 2 ) est un intervalle de 

 la chaine, 2\f(ti) — f(t 2 )\ est une valeur approchée de la variation totale 

 de /, qui tend vers cette variation quand la longueur maximum des inter- 

 valles employés tend vers zèro. 



Je considérais comme évident que tout lecteur interprèterait ces phrases 

 comme un rappel rapide et très incomplet des propriétés des chaines et que 

 ceux qui auraient besoin de renseignements complémentaires se reporteraient 

 à mon livre. M. Beppo Levi semble, au contraire, avoir considéré que ces 

 phrases supprimaient et annulaient tout ce que j'avais précédemment écrit 

 et il dit que son système d'intervalles du § 9 est assimilable à une chaine, 

 parce que c'est un ensemble d'intervalles dont chacun a pour origine l'extré- 

 mité ou la limite des extrémités de ceux qui le précédent sur la droite, 



