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alors que je lui refuse cette qualité, parce que ce n'est pas une suite d'in- 

 tervalles dont chacun a pour origine l'extrémité ou la limite des extrómités 

 de ceux qui le précèdent dans la suite. 



Ainsi il s'est produit ce fait bizarre qu'une démonstration, qui aurait été, 

 semble-t-il, jugée correcte si je n'avais pas cru devoir donner les explica- 

 tions rappelées, a été déclaré inexacte parce que je les ai données ! 



Le procédé des chaìnes d'intervalles semblera je pense, simple et com- 

 rnode pourvu qu'on n'oublie pas les propositions que je viens de rappeler. 

 Sans doute ce procédé fait appel au transfini et utilise nombre de pro- 

 priétés que, pour ma part, j'ai cru inutile meme d'énoncer concernant, par 

 exemple, la possibilité de ranger les termos d'une sèrie absolument conver- 

 gente, non seulement en suite simplement infime de type d'ordre «, mais 

 encore en suite bien ordonnée dont le type d'ordre est un nombre transfini 

 quelconque de la seconde classe numérique. C'est précisément cet emploi qui 

 fait la simplicité du procédé car il permet de raisonner sur des séries bien 

 ordonnées (qui possèdent, par conséquent, beaucoup de propriétés des séries or- 

 dinaires) et dont les termes sont rangés, dans la suite, dans le méme ordre 

 que les intervalles correspondants, sur la droite; de sorte qu'on peut souvent 

 raisonner avec les chaìnes comme si elles ne contenaient qu'un nombre fini 

 d'intervalles. 



Cela ne m'empéche pas d'apprécier les démonstrations qui n'utilisent pas 

 ce procédé. En ce qui concerne celles de M. Beppo Levi, je ne puis m'em- 

 pècher de faire remarquer que leur grande parente avec les miennes — pa- 

 renté que M. Levi a l'occasion de faire ressortir en indiquant des analogies 

 de notation et qui ne saurait m'étre reprochée — plaide singulièrement en 

 faveur de mes méthodes. 



Au bas de la quatrième Note de M. Levi on peut lire : 

 Le precedenti osservazioni, ed il desiderio di evitare ogni apparenza po- 

 lemica, credo mi dispensino dal fare altri rilievi intorno alla parte residua 

 (pag. 7) della Nota del sig. Lebesgue. Si applica in essa la proposizione 

 ch'era contestata, quindi solo la completa dimostrazione di questa può 

 giustificarla: nè ciò basta ancora qui, a causa di qualche affermazione 

 forse un po' arbitraria: così l'applicazione della proposizione in discorso a 

 derivate che divengono infinite ; e così ancora l'affermazione che si può sup- 

 porre la serie dei valori delle derivate infinite in un senso solo ('). 



(') Je me permets de faire observer que les affirmations que M. Levi qualifie de 

 forse un po' arbitraria sont, comme celles qu'il qualifiait d'erronee dans sa première 

 Note, des affirmations dont il n'a pas apercu la justification. Mais alors, tous les raison- 

 nements de mon Livre, à commencer par les plus classiques, pourraient étre mis succes- 

 sivement en question car, limité quant à la place, je n'en ai peut-ètre pas exposé un seul 

 tout à fait complètement. Quelles sont les explications qu'il faut donner? Quelles sont celles 

 qu'on peut omettre? C'est une question qui m'avait préoccupé, on le verrà dans la pré- 



