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L'observation dont parie M. Levi est celle que nous venons d'exaniiuer; 

 puisque cette observation, loia d'etre irréfutable, est inexistante, je dois ré- 

 pondre aux deus autres critiques formulées. Je le ferai en employant les no- 

 tations et la terminologie de ma précédente Note à laquelle le lecteur voudra 

 bien se reporter. Débarassons-nous de la seconde critique; j'ai à démontrer, 

 pour une certaine fonction A, une propriété évidemment vraie de la diffé- 

 rence de deux fonctions quand elle vraie de chacune d'elles ; n'ai-je pas le 

 droit de ne la démontrer que pour les deus fonctions positives 



|[A + |Aj] , |l|A|-A], 



dont A est la différence? 



Passons à l'autre critique: je sais que le nombre dérivé X de l'intégrale 

 inflnie d'une fonction y positive est, presque partout, au moins égal à q>. 

 Appliquant le théorème permettant de remonter de A à sa fonction primi- 

 tive, qui est démontré pour X non borné, mais fini, j'écris 



(X — cp) dx — 0 



et j'en conclus que X — g> est presque partout nulle. Si je m'étais arrété là, 

 M. Levi aurait eu raison de me reprochev d'appliquer à des X infinis un 

 tbéorème démontré seulement pour les X finis et j'aurais oublié ce que je 

 disais aux pages 128-129: que ce théorème ainsi étendu est faux, commele 

 prouve l'exemple de la fonction précédemment citée. Mais j'ajoutais: 

 Il est vrai que X peut, peut-étre, avoir en certains points une valeur inflnie ; 

 mais cornine ce ne peut-ètre que la valeur -j- oo notre conclusion n'en est que 

 renforcée. — Que fournit, en effet, le raisonnement rappelé dans la note précé- 

 dente quand on l'applique au X dont il est ici question? En quoi est-il changé? 



Il y a maintenant un e+oo formé des points où A = — j— co . Si x 0 

 est un de ces points on ne peut choisir h de manière que le rapport 



f{x* _ h) f{xo) ^ q ^ ^ ^ fonction primitive de X , diffère de X de 



moins de e mais, opérant comme on le fait toutes les fois quii s'agit de 

 s'approcher de -f- oo , on choisir a h de facon que ce rapport soit supérieur 

 à M(s) croissant indéfiniment quand s tend vers zero. Alors, à la place de 



face de mon livre ; ce qui est certain maintenant, c'est que je n'ai pas été clair pour 

 tout le monde. En ce qui concerne les dernières pages de mon livre, qui sont particuliè- 

 rement concises, j'espérais que le lecteur qui m'aurait suivi jusque-là aurait acquis assez 

 l'habitude des procédés que j'emploie et, en particulier, de celui des cliaines d'inter- 

 valles pour qu'il lui soit facile de juger de suite de l'esactitude de propositions qui me 

 paraissaient évidentes, et d'en rétablir, s'il le voulait, les démonstrations complètes. 



