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deinia di Torino ( : ), pel caso soltanto delle superficie a curvatura positiva. 

 Ma è facile estendere la ricerca al caso più generale di superficie a curva- 

 tura di segno qualsiasi purché finita. Per questo osserviamo che la g , defi- 

 nita essendo dalle equazioni 



(2) g— ** • , (f)^ 



deve soddisfare a ciascuna di queste tre relazioni 



g = E sen + ^Jf x ~~ *") sen °" R ~ ' dx ' 



# = q sen ip ^ — q jg x -j- ^ sen ip G R • <&c , 



# = o- — \ g x k x (a — x)dx , 



•> 0 



(3) 



dove R e j sono le lunghezze di due segmenti reali qualsiansi, e g x ,k x 

 esprimono i risultati della sostituzione della lettera x alla a nelle g e k. 

 Nella Memoria già citata è indicato l'artificio assai semplice, col quale sono 

 giunto alla prima delle formule (3). La seconda si ottiene con un artificio ana- 

 logo ; la terza non è che un caso particolare delle prime due (E = oo , q = oo ). 

 Ma, senza risalire ai calcoli che hanno condotto a quelle espressioni, si può 



senza difficoltà verificare che le derivate — > — - dedotte da ciascuna delle 



"Se ~òo- 



(3) soddisfanno alle tre condizioni (2). 



Ciò posto, se la superficie è a curvatura positiva non maggiore di k x , 



posto nelle (3) E = -y= si vede che sarà 



(4) <r>^>-Lsen((yy / A' 1 ) 



v k\ 



quando si considerino, come faremo qui, archi di geodetica di lunghezza li- 

 mitata nel modo detto nella Nota precedente ( <s <C —7= |. Possiamo anche 

 scrivere la (4) così 



g > g > a cos (<fj/ki) . 



