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Pel caso di superficie a curvatura negativa non minore di k 2ì posto 



nelle (3 ) q = —-= abbiamo — -4- k x >. 0 , e quindi 

 y — k% Q 



(4') e < g < -== sen ip (e f/— £ 2 ) ■ 



y — k 2 



E poiché per x positivo 



sen ip x <i x cos ip x , 



possiamo alla (4') sostituire la 



e -< < <r cos ip (<r ]/ — # 2 ) . 

 Riuniamo, per comodità, questi due sistemi di disuguaglianze in un solo 



(5) (S . cos (e yki) < g < <r cos ip (cf/ — A 2 ) 



il quale varrà qualunque sia il segno della curvatura della superficie, 

 purché si convenga di sostituire a ki lo zero, nel caso di superficie a cur- 

 vatura sempre negativa, e di porre invece zero in luogo di k 2 nel caso di 

 superficie a curvatura sempre positiva. Negli altri casi, si intenderà che ki 

 e k 2 siano i limiti superiore ed inferiore della curvatura assoluta. 



Riprendiamo ora in esame le due superficie S , S' da principio conside- 

 rate, e siano ki e k 2 limiti superiore ed inferiore della curvatura per en- 

 trambe le superficie. Deduciamo dalle (1) e (5) 



IH 



■h\< — -=- fi* . cos 2 ip (a |/ — k,) . (K — k) da . 



a 2 . cos 2 {aykjJo 



Supponiamo che la differenza K — k non superi in valore assoluto un 

 certo limite e (sarà « <. ^ — k 2 ). La precedente disuguaglianza sussisterà 

 se al posto di K — k si pone « e se il fattore cos 2 ip . viene tolto fuori dal 

 segno integrale (giacché il cos ip . cresce al crescere dell'argomento). Quindi 



(6) IH-AKg " 8 '*^^ . 



3 cos 2 {ay ki ) 



Osserviamo che uno dei segni di disuguaglianza nella (4) (4') potrà 

 mutarsi in segno d'eguaglianza quando la k si mantenga costante lungo la 

 geodetica considerata. Nella (6) invece la diseguaglianza sussiste sempre, 

 finché e ]> 0 , il che qui supporremo. 



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