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Matematica. — II problema di Dirichlet considerato come 

 limite di un ordinario problema di minimo. Nota di Guido Tubini, 

 presentata dal Socio L. Bianchi. 



1. Io voglio qui dimostrare che il problema di Dirichlet (che già si 

 sa potersi affrontare come problema di variazione) si può, almeno sotto 

 certe condizioni, considerare anche ( 2 ) come limite di un ordinario problema 

 di minimo. Sia c un contorno convesso (e senza flessi) nel piano xy ; e, per 

 evitare discussioni minute, supponiamo che c abbia tangente e curvatura 

 variabili con continuità. Sia r l'area racchiusa da e siano x , y coor- 

 dinate cartesiane ortogonali. Per poter ricorrere all'intuizione geometrica, 

 indicherò con s una terza coordinata, che con le prime formi un sistema di 

 coordinate cartesiane ortogonali nello spazio. Una funzione z delle x , y , 

 data nel campo r, rappresenta una superficie V nello spazio, che si proietta 

 biunivocamente nell'area r del piano xy. Il dare i valori della z su c equi- 

 vale a dare il contorno C di V: contorno, che si proietta sul piano xy nel 

 contorno c. Supposto che i valori prescritti su c formino una funzione finita 

 e continua, insieme alle sue derivate prime e seconde, dell'arco s di c, mi 

 propongo di costruire in T una funzione armonica, che su c assume i valori 

 prefissi (problema di Dirichlet). Indicherò con K una costante positiva, 

 maggiore in valore assoluto della citata derivata prima. Le condizioni im- 

 poste ai valori dati su e non costituiscono una restrizione essenziale : infatti 

 esse si possono togliere per mezzo del teorema di Harnack sulle serie uni- 

 formemente convergenti di funzioni armoniche col metodo stesso seguito da 

 Paraf e Picard a proposito del metodo del balayage ( 3 ). Un piano normale 

 al piano xy potrà incontrare C al massimo in due punti ( 4 ), e non potrà essere 

 piano limite di infiniti piani, che abbiano tre punti comuni con C. 



Se ora, dato un qualsiasi angolo a < -| , si potesse trovare un piano, 



passante per tre punti di C, e facente col piano xy un angolo maggiore 



(•) Cfr. Hilbert, Matti. Ann. (tomo 59) ; Levi, Eend. del Ciro. Matem. di Palermo, 

 tomo 22; Fubini, Sul principio di Dirichlet (id. id.) e II principio di minimo ecc. (id. 

 id., tomo 23). 



( 2 ) Il Lebesgue usò un metodo simile per il problema di Plateau, senza però com- 

 pletare la trattazione (Ann. di Matem. 1902, pag. 348 e seg.). 



(•) Cfr. il Traité cVAnalyse del Picard, tomo H (1903), pag. 100 e seg. 



(*) Poiché c è convesso, e senza flessi, un piano normale al piano xy non può 

 neanche essere osculatore a C , oppure essere tangente in un punto a C , e contenere 

 altri punti di C. 



