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di a, allora se a l5 a 2 ,a 3 ... sono angoli minori di — tali che lima n = — , 



u n=co £ 



noi potremmo trovare infiniti piani, passanti per tre punti di C , e formanti 



TC 



col piano xy degli angoli § x , /? 2 , §z — tali che lim @ n = — . Essi avreb- 



n=co & 



bero almeno un piano limite n, che sarebbe normale al piano xy. ciò che 



abbiamo dimostrato assurdo. Dunque : Esiste un angolo a < — , tale che 



i piani passanti per tre punti di C formano col piano xy un angolo mi- 

 nore di a . (Si noti che k ^ tang a). 



2. Una retta, che passi per due punti di C , giace in piani contenenti 

 almeno tre punti di C , e forma quindi col piano xy un angolo minore di a . 

 Siano A , B due punti di C , e siano a , b le loro proiezioni su c ; la retta 

 ab divide r in due pezzi J\ , r 2 . Sia d un punto di c , posto p. es. sul 

 contorno di r, , e sia D il punto corrispondente di C . Se noi imponiamo 

 a una funzione u(x,y), esistente in 7^ , di assumere sul segmento ab e 

 sul tratto adb di c valori tali che la superfìcie 2 = u passi per il segmento 

 AB e per l'arco ADB di C , noi verremo ad imporre i valori che u ha sul 

 contorno di Z\; e questi valori avranno rispetto all'arco Si di tale contorno 

 derivate prime inferiori in valore assoluto alla costante H (se H è una co- 

 stante maggiore di K e di tang a). L'esistenza di funzioni u soddisfacenti 

 a tali condizioni, e tali cine in tutto -Tj abbiano derivate prime inferiori 

 in modulo a H , è cosa evidente. Essa si può del resto dimostrare con ogni 

 rigore, ricordando p. es. che T x è convesso ('). Con ragionamenti analoghi, 

 applicati all'area r, si potrebbe dimostrare l'esistenza in r di funzioni, 

 aventi i valori prescritti su c, e possedenti entro r derivate prime li- 

 mitate. 



3. Noi ci restringeremo in tutte queste pagine alla considerazione delle 

 funzioni u(x , y), che 



1°) sono finite e continue nell'area y, ove sono definite; 



2°) posseggono derivate prime limitate, e generalmente continue. Vo- 

 glio dire che queste derivate sono continue in y, quando si escluda al più 

 un numero finito N di linee analitiche (rette, cerchi, ecc.), in cui queste 

 derivate possono avere discontinuità di prima specie. Il numero N, al 

 variare delle funzioni u considerate, può anche assumere valori grandi a 

 piacere. 



( J ) Cfr. p. es. la Mem. citata del Levi, 0 quella del Fubini (§ 3). Si potrebbe p. es. 

 considerare la funzione u, tale che l'equazione z = u rappresenti il cono proiettante da 

 A l'arco ADB di C (una tangente a tale cono giace in un piano, che forma col piano % y 

 un angolo minore di «). 



