— 164 — 



Diremo poi pseudoarea della superficie z=u(x,y) l'integrale super- 



ili particolare la pseudoarea di una superficie piana è uguale al pro- 

 dotto dell'area della sua proiezione sul piano xy moltiplicata per il quadrato 

 della tangente dell'angolo, che il suo piano fa col piano xy 



La pseudoarea di una superficie poliedrica è uguale alla somma delle 

 pseudoaree delle sue faccie. 



Se una funzione u(x , y) gode delle proprietà precedenti, è definita nel- 

 l'area -T, e se la superficie z = u(x , y) passa per C , noi diremo che detta 

 funzione (detta superficie) appartiene all' insieme (u). È noto che il problema 

 di Dirichlet si può enunciare così: 



Dimostrare che fra le superficie (u) esiste una superficie s = v(x ,y), 

 che ha la pseudoarea minima, e che la funzione v è armonica in r (e quindi 

 risolve il problema di Dirichlet enunciato al n. 1). 



4. Se ci è il limite inferiore delle pseudoaree delle superficie di (u) 

 (che noi dovremo dimostrare essere un minimo), noi potremo trovare una 

 successione (minimizzante) di superficie Si , S 2 , S 3 , ... appartenenti all'in- 

 sieme (u), tali che le loro pseudoaree , a 2 , a 3 , ... soddisfino alle 



Con z = ut indicherò l'equazione della superficie S,- ( 2 ). Noi vogliamo 

 ora cercare una speciale successione minimizzante. Per le ipotesi fatte sulle 

 superfìcie (u), potremo costruire una superficie poliedrale S • inscritta in S £ , 

 e terminata a un poligono Ci inscritto in C , in guisa tale che la differenza 

 delle pseudoaree di Si e S' sia minore di una costante e* prefissa a priori, 

 e che lim C, = C ( 3 ). 



( 1 ) La pseudoarea di un'area piana posta in un piano parallelo (normale) al piano xy 

 è quindi nulla (infinita). 



( 2 ) Lo studio generale delle successioni minimizzanti è stato fatto nella mia Mem. 

 citata (tomo 43, Eend. del Circ. Mat. di Palermo). 



( 3 ) Se p. es. le derivate prime delle Uì sono continue (e quindi uniformemente con- 

 tinue) in r, si sceglierà un poligono a inscritto in c, in guisa che quella porzione di Sj, 

 che si proietta in quella parte di T, che è compresa tra c e a, abbia una pseudoarea 



minore di — . Si divida poi l'area r* interna a d p. es. con tanti triangoli rettangoli cfj, così 



piccoli che in ciascuno di essi il quadrato della derivata prima di m secondo una qualsiasi 

 direzione (e in particolare quindi anche secondo la direzione dei cateti) faccia una oscilla- 

 zione minore di ^ (dove con L indico l'area di r). Prendo poi come superficie S'i la 



superficie poliedrica, inscritta in Si, le cui faccie si proiettano nei triangoli <?i. 



Se invece la funzione m ha derivate, che hanno discontinuità di prima specie lungo N 



ficiale esteso all'area y di J l u== 



a n .> d(n — 1 , 2 , ...) , lim a n = 



d. 



