— 165 — 



Indichiamo con ci la proiezione di C, sul piano scy, con r t l'area rac- 

 chiusa da a, con z = tn(x , y) l'equazione di S-. La funzione t n esiste ed 

 è continua nell'area Fi. L'area T — r t racchiusa tra c e d è somma di m 

 aree parziali (se ni è il numero dei vertici di <?,), ciascuna delle quali è 

 racchiusa tra un lato di d e un archetto di c. Per i risultati del n. 2 noi 

 potremo costruire in ciascuna di queste ni aree, e quindi anche nell'area 

 totale r — Tj una funzione z = ti 2 (x,y) avente entro r — derivate 

 prime continue, e inferiori in modulo alla costante H, e assumente su c i 

 valori prescritti, e sui lati di d gli stessi valori, che sono ivi assunti dalla 

 funzione tu. La funzione s — U(x ,y), che entro -T, è uguale a / ih e in 

 T — Ti è uguale a t i2 , è una funzione (n). 



Poiché chiaramente lim d = c , e le derivate prime di t i2 sono in mo- 



t'=00 



dulo inferiori ad H , la pseudoarea Qi della superficie z = t i2 tende a zero 

 per e = 00. Se con <s\ indico la pseudoarea di S-, si ha: le,- — 0ì|<< s ì : la 

 pseudoarea t,- della superficie z = U è uguale a a\ -j- o ; <. o"; -j- sì -j- qì . 

 Per la definizione stessa di d, si ha e- -f- qi >. d; poiché lim £, = lim qì =0, 



%— 00 z'=oo 



lim C; = <:/ , si avrà : lim n = d. Quindi la successione delle funzioni 



2*— X i=co 



À = ti(x.y) è pure una successione minimizzante. Consideriamo ora la fun- 

 zione z = Wi(x , y), che in r — r,- è uguale a U{x ,y) = tu . e che entro Fi 

 rappresenta la superficie poliedrica S" che ora definiremo. Tra tutte le su- 

 perficie V, terminate a C;, proiettate biunivocamente nella regione F t del 

 piano xy, i cui vertici sono in corrispondenza biunivoca coi vertici di S ■ , 

 e hanno con questi a comune le proiezioni sul piano xy, indico con S'' 

 la (una) superficie poliedrica, che ha la pseudoarea minima possibile. L'esi- 

 stenza di una tal superficie è ben evidente. Se infatti z x sono le 

 terze coordinate dei vertici di 2 esterni a C (se s è il numero dei vertici 

 di S- esterni a C), la pseudoarea di V è funzione continua delle g 1 ,g t ,-...-,g s . 

 E, poiché essa è sempre positiva (e anzi non è mai infinitesima) raggiungerà 

 il valore minimo per qualche valore delle Zx , z 2 , ... , z s ('). Esiste dunque 

 almeno una superficie S," (coi vertici a distanza finita). 



linee analitiche, si osservi che queste linee divideranno T in un numero finito M di parti. 

 Per ciascuna di queste M porzioni potremo ripetere un ragionamento analogo al precedente : 

 otterremo così M superficie poliedriche, che costruiremo con la ulteriore avvertenza che 

 esse formino, considerate insieme, una unica superficie poliedrica (connessa). Faremo in 

 modo cioè che, se T' ,T" sono due degli M pezzi di r, tra loro contigui, le superficie 

 poliedriche corrispondenti ahbiano comuni i vertici posti sulla linea di separazione dei 

 due pezzi considerati. 



Il teorema risulta ancora più evidente, quando si pensi al teorema analogo sulle aree. 



(*) Nè può uno di questi valori essere infinito; in tal caso la corrispondente super- 

 fìcie Z avrebbe almeno una faccia normale al piano xy, e quindi avrebbe una pseudo- 

 area infinitamente grande. 



Kendiconti. 1907, Voi. XVI, 1° Sem. 22 



