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La superficie z = w% (x , y) ha una pseudoarea X, <. r t . E, poiché 

 \imTi = d, sarà lim X- t — d. Anche la successione z = Wi(x , y) è una suc- 



cessione minimizzante ('). 



5. Noi osserveremo che i rapporti incrementali della funzione z=Wi(x,y) 

 sono tutti inferiori ad H in valore assoluto. Ciò è ben evidente per quanto 

 riguarda i punti di r — ■ . Per quanto riguarda la regione ri , ciò si di- 

 mostra in modo analogo a quanto fa Lebesgue (loc. cit.) (*)', appena sia 

 dimostrato il seguente teorema, che provvisoriamente ammetteremo: 



Nessun angoloide della superficie S" può essere tagliato da un piano 

 lungo una linea chiusa. 



L'essere le derivate delle W\ inferiori a una stessa costante H porta 

 subito a una conseguenza notevole, quando si applichino i teoremi del pro- 

 fessore Arzelà ( 3 ), oppure si usi lo stesso artificio, usato da Hilbert (loc. cit.). 

 Nella successione delle funzioni wi(x,y) si può scegliere una successione 

 subordinata , Wi % , Wi 3 , ... , la quale tenda uniformemente a una fun- 

 zione v(x,y) esistente in r, la quale assumerà sul contorno di c i valori 

 prefissati. 



La semplice applicazione dei risultati della mia Nota citata : Sul prin- 

 cipio di Dirichlet (tomo 22 dei Rend. del Circ. Matem. di Palermo) ( 4 ) 

 dimostra che v(x,y) è armonica in r, e che quindi essa è la funzione 

 cercata. Il teorema di esistenza per il problema di Dirichlet è quindi di- 

 mostrato. 



6. Ritorniamo ora sul teorema, ammesso al n. 5. Per la definizione 

 stessa di S" un angoloide A(B X B 2 ... B. s ) di S" è un angoloide che proietta 

 da un vertice A di S" un poligono (in generale sghembo) B^P^ ... B s , i cui ver- 

 tici sono vertici di S'\ e che ha una pseudoarea minima, confrontato con tutti 

 gli angoloidi, che proiettano il poligono B 2 ... B s da un punto A' posto sulla 

 normale al piano xy passante per A . Di più punti distinti dell'angoloide 

 A(B t ... B s ) hanno proiezioni distinte sul piano xy. È ben evidente che un 

 piano z = cost non può tagliare detto angoloide in una linea chiusa. Chè, 

 se A r è la proiezione di A su detto piano, la pseudoarea ( 5 ) dell'angoloide 



(') È ben evidente che le funzioni Wi{x ,y) appartengono a (m). 



( 2 ) Il prof. Vitali mi fa osservare che a pag. 350 (riga 4) del citato lavoro del 

 Lebesgue si deve probabilmente leggere convexe anziché aigu. 



( 3 ) Cfr. Vitali, Sopra le serie ecc. (Ann. di Matem., 1903) § 3. 



( 4 ) Si potrebbero anche applicare gli altri metodi usati nella mia Meni. cit. (Il prin- 

 cipio di minimo ecc.). 



( 6 ) Infatti i triangoli ABi B i+1 .A'BjBi-i-! hanno la stessa proiezione sul piano xy, 

 il piano del secondo forma però col piano xy un angolo minore dell'angolo formato dal 

 piano AB; B i+X ; e quindi la pseudoarea di ogni triangolo A'B< Bì+i sarebbe minore della 

 pseudoarea del triangolo ABìBì-h corrispondente (per brevità ho posto B s+ i=Bi). 



