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Sia f una funzione prefissata dei punti di c. Dimostrare l'esistenza in r 

 di una funzione (armonica) TJ(a;,y ,&) tale che sia 



(1) Cf\Jd<t = 1 



J e 



e che J(D) non sia maggiore di J(y), quando v è una qualsiasi funzione 

 esistente in r, per cui è soddisfatta la 



(l) 6,s \f v da = \. 



La funzione / è proporzionale ai valori prescritti per la derivata normale 

 della funzione cercata, cosicché si deve supporre 



(2) \fd(f = 0. 



Vedremo del resto più precisamente più avanti il significato della (2) 

 per il problema di Lord Kelvin. Ma anzitutto faremo due osservazioni: 



l a . Il problema di Lord Kelvin è più generale del problema di co- 

 struire una funzione armonica in F, che su c abbia una derivata normale 

 prefissa. Basti p. es. osservare che il problema di Lord Kelvin non richiede 

 neanche che c abbia normale in ogni punto, purché si possa parlare di 

 integrali estesi al campo F, o al contorno c, e purché f sia integra- 

 bile su c. 



2 a . Il problema di Lord Kelvin, così come noi lo abbiamo enunciato, 

 non ammette in generale soluzione. Noi non possiamo cioè accontentarci di 

 imporre alle funzioni v la condizione (l) 6/s , e l'altra (che è implicitamente 

 inclusa nel precedente enunciato) che le funzioni v ammettano un parametro 

 JiV integrabile in F ( l ). Noi dovremo imporre condizioni più restrittive, 

 che enuncieremo così: 



a) Le funzioni v sono finite e continue in ogni punto interno a F, 

 e sono funzioni assolutamente continue ( 2 ) su ogni retta coordinata ( 3 ) (inclusi 

 i punti in cui questa retta incontra e), escluso al più un aggregato di mi- 

 sura nulla di queste rette. 



/?) I valori assunti su c soddisfano alla j fvda — 1 . 



(') Beppo Levi, Sul principio di Dirichlet, Rend. del Circ. Matem. di Palermo 

 tomo 22, nn. 5-8. 



(*) Vitali, Sulle funzioni integrali, Atti dell'Accad. di Torino, 1905. 



( 3 ) Con le parole: retta coordinata e piano coordinato indico rispettivamente le 

 rette e i piani paralleli agli assi e ai piani coordinati. 



