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y) Le derivate prime di una funzione y, e i loro quadrati sono inte- 

 grabili in r. 



L' insieme delle funzioni, che hanno le proprietà (a) , (/?) , (/) , si dirà 

 insieme (u) ('). E con d indicherò il limite inferiore dei valori, che può 

 assumere 3(v), quando la funzione v appartiene all' insieme (u). Il problema 

 di Lord Kelvin si enuncia allora rigorosamente così: 



Dimostrare che d è un minimo, ossia dimostrare che in (u) esiste 

 una funzione (armonica) U, tale che J(U) = d. 



Per la definizione stessa di d noi potremo trovare in (u) infinite fun- 



zioni Vi , v 2 , v 3 tali che lini J(y„) = d, ossia che, posto J(v n ) = d -J- , 



li— 00 0 



sia lim s n = 0. Ed è anzi possibile (e in infinite maniere) scegliere una tale 



ft=oo 



successione di funzioni (che chiameremo una successione minimizzante) in 



i 



guisa che : >■ «i , *i <C1 e cne ia sei 'i e 2 f t s * a conver g en te. Conver- 

 gerà allora anche ogni serie ^Si{k = cost), se k^^. 



i à 



Noi diremo che una retta coordinata (p. es. una retta parallela all'asse 

 delle x) è una retta regolare, se le Vi sono assolutamente continue su tale 

 retta, e se si può trovare un intero i 0 tale che per i i 0 sia 



_ j_ 



dx<l/lsf (M,=t?i — 



quando l' integrazione sia estesa a un qualsiasi segmento (la cui lunghezza 

 indico con l) appartenente alla retta in discorso, e interno al campo r. Le 

 rette non regolari si diranno rette eccezionali. 



■ Un piano coordinato (p. es. un piano x = cost) si dirà regolare, se le 

 rette coordinate (le rette parallele all'asse delle y o a quello delle s) poste 

 su di esso formano un aggregato di misura lineare nulla. Se invece o le 

 rette parallele all'asse delle y, o quelle parallele all'asse delle che giac- 

 ciono sul piano in discorso formano un aggregato di misura (lineare) non 

 nulla, allora il piano si dirà eccezionale. 

 Si dimostra: 



1°) Le rette coordinate eccezionali formano un aggregato di misura 

 superficiale nulla; i piani coordinati eccezionali formano un aggregato 

 di misura lineare nulla ( 2 ). 



2°) Se esiste ed è finito il lim v n in un punto A di una retta r 



M=oo 



coordinata regolare, detto limite esiste ed è finito in tutti i punti di un 



( 1 ) L'esistenza di tali funzioni si può dimostrare in casi di amplissima generalità. 



( 2 ) Veramente si dovrebbe dire: »< tre aggregati», uno per ciascuno degli assi o dei 

 piani coordinati. La superiore locuzione è però forse più espressiva. 



