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segmento interno a r, posto su r, contenente il punto A, e rappresenta 

 su questo segmento una funzione continua. 



3°) Se esiste ed è finito il lira v n in un punto A di un piano ti 



72=00 



regolare,, tale che almeno una delle due rette coordinate uscenti da A, e 

 giacenti in n, non sia eecezionale J allora esiste ed è finito il lini v n in 



«=oo 



tutti i punti di ri, escluso al più un aggregato G linearmente nullo ( l ) di 

 punti di ti. E quindi (per il teorema 2°) il lira v n esiste ed è finito in 



n=<x> 



lutti i punti di un altro qualsiasi piano coordinato regolare, eccetto al 

 più un aggregato linearmente nullo di punti, e in tutti i punti di un 

 piano coordinalo eccezionale, eccetto al più un aggregato di punti di mi- 

 sura superficiale nulla. 



Sorge dunque la domanda: Come possiamo noi assicurarci della esistenza 

 del lim v n in un punto A di un piano ti coordinato regolare, da cui esca 



«=00 



una linea coordinata regolare posta in ti? 



Cominciamo ad osservare che l'aggregato dei valori, che le funzioni y ; 

 hanno nel punto A, avrà dei valori limiti; e se a è uno di questi valori 

 limiti, noi potremo nella successione Vi , v% , v 3 , ... staccare una successione 

 subordinata v kl , v lu _ , Vn 3 , ••• tale che lim v% — a. Il primo inconveniente, 



K=oo 



che si ha con questo metodo, è questo che l'aggregato dei valori delle v n 

 in A può avere per unico valore limite la quantità rt oo , cosicché « non 

 sarebbe una quantità finita. Di più noi saremmo costretti a studiare diret- 

 tamente non la successione delle v n , ma una successione subordinata. Per 

 approfondire questa questione, dobbiamo distinguere due casi: 



1°) La (2) è soddisfatta. In tal caso se v appartiene ad (u), anche 

 v -f- h (li = cost) appartiene a (u). Se v } , v% , ... è una successione minimiz- 

 zante, anche u { = v x -j- h x , it 2 = v 2 -}- h % , ... [ìi x , h 2 ... = cost) è una suc- 

 cessione minimizzante, che ha con la precedente comuni rette e piani ecce- 

 zionali. E di queste costanti hi , h 2 , ••• (che sono in nostro arbitrio) possiamo 

 servirci in modo che esista e sia finito il lim u n nel punto A , in guisa da 



rendere applicabili i precedenti teoremi. 



2°) La (2) non è soddisfatta. Sia ) fda — k 4= 0 , allora, se v è 



una funzione di (u), la funzione u = ^ v m 1 appartiene a (u) qualunque 



tCffl 



sia la costante m =}= 0. Si potrebbe poi, in modo analogo a quanto facemmo 



(') Cioè, se p. es. n è un piano x — cost, in n vi è al massimo un aggregato di 

 misura (lineare) nulla di rette ?/ = cost, o di rette z = cost, che contengono punti di G. 

 E i punti di G, che appartengono a una di queste rette, formano un aggregato di misura 

 (lineare) nulla. 



