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nel caso precedente, sostituire alla successione delle Vi la successione delle 



ili = — — l - , dove le costanti wì fossero scelte in modo che la suc- 



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cessione delle ui sia ima successione minimizzante (per il che basta che 

 \nii\^> 1), e che esista in A il liiru^. Resterebbe il dubbio però, che le 



rette eccezionali per la prima successione non fossero le stesse rette ecce- 

 zionali per la seconda. Non vale però la pena di entrare in simili studi, 

 perchè è ben facile riconoscere che in questo caso d = 0, e che la funzione U 



è la costante \ ('). Noi dunque potremo limitarci a studiare il primo caso, 



il caso cioè che k = 0. In questo caso come dicemmo, esiste una successione 

 minimizzante (delle u x , ih , •••) che converge in tutti i punti di un piano 

 coordinato regolare (eccezionale), eccetto che in un aggregato di punti 

 linearmente nullo (di misura superficiale nulla), in guisa tale che u — lim u a 



rappresenta una funzione continua su ogni retta coordinata, inclusi i punti 

 comuni a tale retta ed a c, escluso un aggregato di tali rette di misura 

 superficiale nulla. 



Consideriamo ora un pezzo R di una superficie 2 > c ^ e sia in corrispon- 

 denza biunivoca con la sua proiezione ortogonale p. es. sul piano delle x. 

 11 lim u n = u esiste ed è finito in ogni punto di R , escluso al più un 



aggregato di misura superficiale nulla di punti di R. Ora, come è noto, 

 i valori di una funzione w in un tale aggregato non influiscono sul valore 

 dell'integrale di io esteso a R. Sorge dunque la domanda se esiste il 



lim u n da' (dove con da' indico l'elemento d'area di R) e se questo limite 



è uguale a ( uda'. A questa domanda si può rispondere affermativamente. 



Il metodo da usare è il seguente : di considerare prima i piani x = cost 

 regolari, i quali sono di più tali che si possa per ciascuno di essi trovare 

 un intero i 0 , in guisa che per i > i 0 sia 



quando l' integrazione sia estesa a quella regione del piano considerata, che 

 è interna a r. Un piano x == cost generico gode di queste proprietà, perchè 

 si può dimostrare che al più esiste un aggregato di piani x = cost di mi- 

 sura nulla, che non soddisfano a tali condizioni. 



Dimostrata direttamente la proprietà enunciata per ogni regione R di 

 un tale piano, la si può quindi estendere alle superficie 2- 



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( l ) Ciò si potrebbe del resto anche dedurre dallo studio delle successioni minimizzanti. 



