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Matematica. — Sopra una questione di minimo, che si ri- 

 connette col problema di Dirichlet. Nota del dott. S. Medici, pre- 

 sentata dal Socio L. Bianchi. 



In una Nota recente (') il prof. Fubini ha dimostrato, che il problema 

 di Dirichlet, sotto certe ipotesi, si può considerare come limite di un ordi- 

 nario problema di minimo. 



La ricerca del prof. Fubini si basa su un teorema la cui dimostrazione 

 è oggetto della presente Nota: a prima vista sembrerebbe, che tale dimo- 

 strazione richiedesse un lungo calcolo, ma questo si può evitare con un 

 semplice artificio. 



Premettiamo una definizione (cfr. Fubini, loc. cit.). Siano x ,y ,z coor- 

 dinate cartesiane ortogonali: diremo pseudoarea di un triangolo il valore 

 assoluto dell'area della proiezione ortogonale del triangolo sul piano xy, 

 moltiplicato per il quadrato della tangente dell'angolo che il piano del 

 triangolo fa col piano xy. Da semplici formule di geom. analitica si ha 

 allora, che se indichiamo con Xi y x z x , x 2 y 2 z t , x 3 y 3 z z le coordinate dei 

 vertici, tale pseudoarea J è data da 



(1) 



J = 



1 X x Sx 



2 



1 yi 



1 X% Z 2 





1 yiz 2 



1 X% £3 





1 Ih £3 



1 x x y x 

 1 x 2 y 2 

 1 x 3 y 3 



Diremo poi pseudoarea dell'angoloide, che si ottiene proiettando da un 

 punto (X , Y , Z) una spezzata chiusa, e le cui faccie si suppongono termi- 

 nate a questa spezzata, la somma delle pseudoaree dei vari triangoli, che 

 ne formano le faccie. Sicché, se indichiamo con x x y x z x , x 2 y 2 z 2 , . . . , x n y n 

 z n le coordinate dei vertici della spezzata, con X Y Z quelle del centro da 

 cui si proietta, si ha che la pseudoarea D è data da 



(2) 



1 Xi 



k 



2 



1 Pi 



Zi 



1 tJCi-t- 1 



Zi+i 





1 yi+i 



Zi+ X 



1 X 



z 





1 Y 



Z 



1 Xi ÌJi 



1 Xi+i yi+ x 

 1 X Y 



dove però all'indice n-\-l si sostituisca l' indice 1. 



(') Fubini, II problema di Dirichlet, ecc. (Questi Rendic, questo tomo). 



