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Il teorema, che ora vogliamo dimostrare è il seguente : 



Se Ai A 2 . . . A„ è una spezzata chiusa data nello spazio , e se A 0 è 

 un punto tale che l'angoloicle A 0 (A! A 2 . . . A n ) si proietti ortogonalmente 

 in un modo biunivoco sul piano xij ed abbia pseudoarea non maggiore 

 di ogni altro angoloide k' 0 (k Y A 2 . . . A„), il cui vertice A' 0 giace sulla retta 

 che proietta A 0 , nessun piano può tagliare l' angoloide A 0 (A! A 2 . . . A n ) 

 in una linea chiusa. 



Indichiamo con B 0 , Bi , . . . , B„ le proiezioni ortogonali di A 0 , A, , . . . , 

 A n sul piano xy ; perchè la proiezione dell'angoloide A 0 (A t A 2 . . . A„) sul 

 piano xy sia biunivoca occorre, che le proiezioni delle varie faccie non ab- 

 biano parti comuni, cioè che le rette B 0 B! , B 0 B 2 , . . . , B 0 B„ , B 0 B! si sus- 

 seguano tutte nello stesso senso per cui B 0 dovrà essere intanto interno al 

 poligono B, B 2 . . . B„ . Ciò porta di più che i triangoli B 0 Bj B 2 , B 0 B 2 B 3 , . . . , 

 B 0 B n Bj hanno tutti aree dello stesso segno, e che perciò nella (2) invece 

 di mettere il segno di valore assoluto ai soli denominatori si può includere 

 nel segno stesso tutto il secondo membro. 



Perchè poi sia verificata l'altra condizione sulle pseudoaree degli ango- 

 loidi che proiettano la spezzata dai varii punti della retta A 0 B 0 , occorre 

 che nel punto A 0 si annulli la derivata di D rapporto a Z: cioè che sia 



Xi — X 2, — Z 

 Xi+i — X Zì+i — Z 





yt -Y Zi — Z 

 y t +i — Y Zi +X — Z 







Xi — X iji — Y 



Xi+i X — Y 





o, 



colla solita avvertenza riguardo all' indice n -f- 1 ; e questa condizione basta, 

 poiché e sempre _> 0 . 



Osserviamo ora, che se c'è un piano jt, che taglia l'angoloide A 0 (Ai 

 A 2 . . . ky) in una linea chiusa, esso, incontrando tutti i segmenti A 0 k x , 

 A 0 A 2 , . . . , A 0 A„ , lascia da una stessa parte tutti i vertici della spezzata, 

 e dalla parte opposta A 0 ; perciò il piano n parallelo a ti per A 0 lascia da 

 una stessa parte tutti i vertici della spezzata. Viceversa, se c' è un piano 

 ri per A 0 , che soddisfa a tale condizione, ogni piano ti parallelo a ri , 

 che disti da ti meno di ogni vertice della spezzata, e che giaccia rispetto 

 a ri dalla stessa parte della spezzata stessa, sega l'angoloide in una linea 

 chiusa. Dovremo dunque dimostrare, che nessun piano per A 0 può lasciare 

 i vertici A, , A 2 , . . . , A„ tutti da una stessa parte. 



Supponiamo dapprima, che il piano non sia parallelo all'asse delle z , 

 ed abbia per equazione 



(4) 



s- Z = «(s — X) + i%-Y). 



