— 278 — 



Se poniamo 



(5) fi — Z = a(| - X) + /%, — Y) + òi , 



la (3) diviene (') 



(6) 



1...M 



V 



t^i X di 



Xi+l X CCi+i 





y.i — Y «i 



(y*4 1 — yi) 





— X ' y< — Y 

 i^t+i — X — Y 





= 0. 



Questa ci dice, che se consideriamo la spezzata Ci C 2 . . . C n , il cui 

 i mo vertice ha per coordinate 



Xi , tfi , £ = Si — a(Xi — X) — /% f — Y) 



n), 



l'angoloide A 0 (Ci C 2 . . . C„) soddisfa ancora a tutte le condizioni del teo- 

 rema enunciato, poiché le due spezzate Ai A 2 . . . A„ e Ci C 2 ... C n hanno la 

 stessa proiezione sul piano xy, e la equazione analoga alla (3), per le (5), 

 si riduce alla (6). 



Ora se il piano (4) lasciasse da una stessa parte tutti i punti Aj ,A 2 , A M , 

 se cioè le ai avessero tutte lo stesso segno il piano s — Z = 0 lascierebhe 

 da una stessa parte tutti i vertici CiC 2 ...C„. Ci sarebbe dunque, se potesse 

 darsi quel caso un piano n parallelo al piano xy, che segherebbe Tango- 

 Ioide A 0 (C! C 2 . . . C n ) in una linea chiusa. Ma questo caso, come ha già 

 osservato il prof. Fubini, non si può dare, perchè indicando con A„ la proie- 

 zione di A 0 su n, l'angoloide AÓ(Ci C 2 . . . C„) avrebbe pseudoarea minore 

 di quella dell'angoloide A 0 (Ci C 2 . . . C„) , contro quanto abbiamo visto. Il 

 teorema è così dimostrato per tutti i piani non paralleli all'asse delle z : per 

 quelli paralleli all'asse delle z la cosa è quasi evidente. Infatti se un piano n 

 per A 0 e parallelo all'asse delle g lasciasse da una stessa parte tutti i punti 

 Ai, A 2 , . . . , A.„ ., la retta r d'intersezione di ti col piano xy, dovrebbe lasciare 

 da una stessa parte B, , B 2 ,. . . ,B„, ciò che è assurdo, r passando per il punto B 0 

 interno al poligono B x B 2 . . . B n . Il teorema è così completamente dimostrato. 



(') Basta ricordare, che 2 ~~ " #*) = 2 — Và — ® ■ 



1 i 



