ori calculera aisément 



l 



et 



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Clijli Clijk 

 Cli'j'k O-i'j'V 



on trouvera ainsi une expression linéaire et homogène en ces déterminants '■> 

 donc si ceux-ci sont tous nuls, les déterminants analogues formés avec les 

 coefficients ci ^ de la forme différentielle ayant subì la transformation ponc- 

 tuelle seront aussi tous nuls; si, au contraire, les déterminants considérés 

 ne sont pas tous nuls. on pourra en concime, gràce à la transformation ponc- 

 tuelle imene, que tous les déterminants formés avec les a'^ ne seront 

 pas tous nuls. 



Ce qui précède s'étend immédiatement des déterminants d'ordre p aux 

 déterminants d'ordre p ~f- 1 . 



Le mode de démonstration que je viens d'indiquer me semble surtout 

 avantageux, quand, au lieu de considérer 2 séries distinctes d'indices, on en 

 considère un plus grand nombre ; dans cette hypothèse la matrice et les dé- 

 terminants qu'elle renferme auront plus de deux dimensions. Le théorème 

 de M. Pascal s'étend à ce cas general. 



En effet, supposons, par exemple, qu'il y ait 3 séries d'indices dans les 

 coefficients, «y, f ; écrivons d'abord le déterminant cubique dn 2 d ordre: 



D'où 



Clijk 



Clij'k 



Clijli' 



Clij'k' 



Cti'jl! 



ciffn 



Cli'jW 



Cli'j'k' 



= -l[l^.#^) + - + ^(^.«'.^)] 



Elitre les crochets [ ] il y a 6 termes, dont 2 seulement ont été 

 transcrits ici. 



La variation de (i l . . . i p ,j\ . . . j v , k x . . . k p ) s'exprime de méme au 

 moyen d'un polynome linéaire et homogène de ces déterminants. Donc on 

 pourra concime, comme précédemment, que la matrice (à 3 dimensions) 

 forrnée avec les a^ et renfermant tous les déterminants (à 3 dimensions) 

 considérés et ceux-ci seulement aura une caractéristique invariante. 



On démontrerait de la méme manière qu'on peut écrire une matrice 

 (à 3 dimensions) forrnée avec les aij,n,i et ayant une caractéristique inva- 

 riante. 



