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d'un nombre derive partout fini soit une de ses fonctions primitives, est 

 que ce nombre derive soit sommable, c'est-à-dire ait une intégrale à mon sens. 



II. La condition nécessaire et suffìsante, pour que l'intégrale inde fini e 

 d'un nombre dérivé partout fini soit une de ses fonctions primitives, est 

 que ses fonctions primitives soient à variation bornée 



On peut se demander ensuite dans quel cas l'integration indéfinie permet 

 de remonter d'un nombre dérivé, fini ou inflni, à sa fonction primitive, mais 

 il faut tout d'abord remarquer que la question n'a pas toujours de sens. 

 M r . Hans Hahn ( 2 ) a en effet construit deux: fonctions fi et f t ayant par- 

 tout la méme dérivée déterminée sans que f x — f 2 soit constante; de sorte 

 que, lorsqu'il ne s'agit plus de quantités fìnies, la connaissance de la derivée, 

 ou d'un nombre dérivé ( 3 ), ne sufBt pas toujours à déterminer la fonction à 

 une constante additive près. 



On peut cependant se demander dans quels cas une fonction est l'intégrale 

 indéfinie d'un de ses nombres dérivés, fini ou non ; en entendant par là que, 

 pour le calcul de l'intégrale du nombre dérivé J, on ne tiendra compte que 

 des points où J est fini. De sorte que cette intégrale est celle de la fonction 

 (p égale à J quand il est fini et à zero partout ailleurs. Seulement, dans 

 l'énoncé de la condition nécessaire et suffìsante, devront intervenir des condi- 

 tions relatives à la fonction primitive, car des deus fonctions f x , f 2 de 

 M r . Hahn, une et une seule est l'intégrale indéfinie de leur commune dérivée. 



On ne pourra donc pas avoir d'énoncé analogue au tbéorème I rappelé 

 plus baut, c'est-à-dire ne faisant intervenir que des propriétés du nombre dé- 

 rivé; mais on va voir que d'une propriété que j'ai indiquée autrefois résulte 

 de suite un énoncé analogue à II, c'est-à-dire ne faisant intervenir que des 

 propriétés de la fonction primitive ( 4 ). 



(*) J'ai donne ces théorèmes dans mes Lefons sur Vlntégration, etc. A leur sujet 

 différentes observations ont été présentées en 1906 et 1907 dans ces Eendiconti par M. 

 B. Levi et par moi mème. Ces théorèmes ne sont pas mis en question ; iì est vrai que, 

 dans son premier travail composé de 3 notes, M. Levi avait substitué à mes énoneés celui 

 qu'on lira plus loin mais mes énoneés furent, par la suite, justitiés par M. Levi lui-méme. 



( 2 ) Ueber den Fondamentalsatz der Integralrechnung (Monatshefte fur Math. und 

 Phys., XVI Jahrg., pages 161-166); voir aussi les Notes de M. Levi (Eendiconti 1906). 



( 3 ) Ou encore si l'on veut de ses quatre nombres dérivés. Car il suffit évidemment 

 d'ajouter aux deux fonctions f x et fa de M. H. Hahn une méme fonction cp à nombres 

 dérivés bornés, qui ne soit pas dérivable en tous les points où la dérivée de f\ est finie 

 pour obtenir deux fonctions non dérivables /, -\- q> , f 2 -\- q> , ayant partout les quatre 

 mèmes nombres dérivés, et dont la différence n'est pas constante. 



(") Dans ces Rendiconti (voi. XV", 1° sem., page 679 et 2° sem., page 358) M. Beppo 

 Levi a énoncé, comme constituant la condition nécessaire et suffìsante cherchée, les 3 

 conditions qui suivent: 



qu'à tout ensemble de valeurs de la variable, qui est de mesure nulle, corres- 

 ponde un ensemble de valeurs de la fonction primitive f{x) qui soit aussi de me- 

 sure nulle ; 



