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Cette condition nécessaire et suffisante peut s'esprimer ainsi: pour qu'une 

 fonction continue f{x) soit l'intégrale indéfimò d'un de ses nombres dé- 



que le nombre dèrivé considéré J ne soit infìni que pour un ensemble de valeurs 

 de x de mesure nulle ; 



et que, cet ensemble de valeurs de x excepté, d ait une intégrale. 

 Tout énoncé de cette nature, c'est-à-dire faisant intervenir des propriétés de /' et de J , 

 a le gros inconvénient de nécessiter l'étude de /' et J avant de permettre d'écrire entre 

 ces fonctions l'égalité f=j~Jdx. 



Je dois ajouter que la démonstration de M. Levi ne m'a pas paru suffisante. M. Levi 

 utilise en e fife t (page 680) cette propriété : Si pour un certain ensemble de valeurs de x 

 de mesure nulle, les fonctions continues /' et q> prennent des valeurs formant des ensem- 

 bles de mesures nulles il en est de mème de f-\- cp . Cette propriété est peut ètre exacte 

 pour les fonctions que M. Levi considère, elle n'est pas vraie dans toute sa généralité. 

 Soient en effet E, et E 2 deux ensembles bornés quelconques, je prenci l'ensemble E des 

 points du pian dont les abscisses appartiennent à E t et les ordonnées àE 2 .Et je couvre 

 un carré contenant E à l'aide de la courbe de M. Peano définie à l'aide d'un paramètre t 

 variant de 0 à 1. J'écris une valeur de t, dans le système de numération à base 2, sous 

 la forme 



Cela définit t en fonction de 6 , quand 0 appartient à un certain ensemble fermé Z , bien 

 connu; j'achève la détermination en convenant que, dans un intervalle où il n'y a pas 

 de points de Z , t reste Constant. La fonction continue t(6) permet de représenter les 

 coordonnées des points de la courbe de M. Peano à l'aide de deux fonctions continues 

 x{6) , y(d) et à un ensemble de valeurs de 0 de mesure nulle, convenablement cimisi, 

 correspondent les points de E. La pmposition en litige est donc équivalente à la suivante: 

 x étant une valeur quelconque de Ei , y une valeur quelconque de E 2 , l'ensemble de 

 toutes les valeurs de x-\-y est de mesure nulle si Ej et E 2 sont de mesures nulles. 



Mais cette propriété, qui est bien celle que semble vouloir démontrer M. Levi (note 2 

 page 680), est inexacte. Prenons en efifet Ei et E» identiques à l'ensemble Z précédem- 

 ment cité; je dis que l'ensemble des valeurs de x -\-y est l'intervalle (0,1). 



Soit z une valeur de (0 , 1), je l'écris dans le système de numération à base 3. 

 J'obtiens x en changeant les chififres 1 de rang impair, à partir de la virgule, en chiffres 0, 

 les chififres 1 de rang pair en chififres 2 et en ne modifiant pas les autres chififres. 

 J'obtiens y en faisant les mèmes changements pour les chififres 1 de z , en changeant les 

 chififres qui se trouvent entre un 1 de rang impair et le chififre 1 immédiatement suivant 

 en 2 et en remplacant par des zéros les autres chififres. 



Il n'est peut étre pas sans intérèt de remarquer, à l'occasion de l'énoncé de M. Levi, 

 que lorsque, pour tout ensemble de mesure nulle, les valeurs correspondantes de deux 

 fonctions /'et cp forment des ensembles de mesures nulles f-{-<p ne jouit pas néces- 

 sairement de la mème propriété. Reprenons en efifet l'ensemble E; supposons E, et E 3 

 identiques à Z , E est parfait. Les valeurs correspondantes de t forment un ensemble 

 jp fermé. Les formules (1) et (2) font correspondre à cet ensemble e un ensemble fermé de 



0) 



et je pose 



(2) 



