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rivés, considéré là ou il est fini, il faut et il su flit que f(w) soit une in- 

 tégrale indé finte. 



La condition est nécessaire, e'est une tautologie; elle est suffisante, car 

 jai montré qu'une intégrale indéfinie admettait pour dérivée la fonction in- 

 tégrée partout, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, et de là ré- 

 sulte évidemment qu'une fonction intégrale indéfinie est l'intégrale indéfinie 

 de sa dérivée, considérée là où elle esiste et est finie, quelle est l'intégrale 

 iDdéfinie de l'un quelconque de ses nombres dérivés considéré là où il est fini. 



Or on peut reconnaitre à un caractère très simple, que j'ai déjà in- 

 diqué ('), si une fonction est ou non une intégrale indéfinie. 



Pour qu'une fonction f soit une intégrale indéfinie il faut et il su flit 



valeurs de 6 . Prenons pour f(6) et cp(6) des fonctions continues égales à x(6) et y(0 ) 

 aux points de e et variant linéairement dans tout intervalle ne contenant pas de points 

 •de E . Les deux fonctions f(ft) , cp(6) satisfont à la condition indiquée, leur somme n'y 



satisfait pas 



M. Levi m'annonce qu'en tenant compte des propriétés particulières aux fonctions 

 qu'il considéré on peut compléter son raisonnement primitif; j'espère que sa démonstration 

 sera publiée prochainement. 



(') A la page 129 de mes Lecons sur l'Intégration, je disais: « il existe des fonc- 

 tions continues à variation bornée qui ne sont pas des intégrales indéfinies ». Et j'ajou- 

 tais en note : « Pour qu'une fonction soit intégrale indéfinie, il faut de plus que sa va- 

 riation totale dans une infinité dénombrable d'intervalles de longueur totale l, tende vers 

 zèro avec l 



Si, dans l'énoncé de la page 94, on n'assujettit pas f{x) à étre bornée, ni F(x) à 

 étre à nombres dérivés bornés, mais seulement à la condition précédente, on a une défi- 

 nition de l'intégrale equivalente à celle développée dans ce Chapitre et applicable à toutes 

 les fonctions sommables, bornées ou non ». 



Voici l'énoncé de la page 94: « Une fonction bornée f{x) est dite sommable, s'il 

 existe une fonction à nombres dérivés bornés F(x) telle que F(x) admette f{x) pour dé- 

 rivée, sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. L'integrale dans (a , b) est 

 alors, par définition, F(ò) — F(a) ». 



Ces citations montrent que j'avais indiqué en 1904 le théorème avec tout la pré- 

 cision désirable mais d'ailleurs d'une facon assez incidente pour qu'il ait du échapper à 

 la plupart de mes Lecteurs. Et en effet, M. Vitali a énoncé à nouveau et démontré cette 

 propriété dans une note dont M. B. Levi a bien voulu me signaler l'existence (Sulle fun- 

 zioni integrali, Atti della E. Accad. delle se. di Torino, voi. 40, 1905). Une telle ren- 

 contre n' est pas étonnante ; je me suis rencontré déjà avec M. Vitali à l'occasion de la 

 mesure des ensembles (Lebesgue, Ann. di Mat., 1902; Vitali, Rend. del Circ. di Palermo, 

 1903); à l'occasion d'une condition d' integrabilité (Vii, Rend. Ist. Lomb., 1904; Leb., 

 Lecon sur l'Int., 1904); à l'occasion d'un théorème sur les fonctions d'intégrale nulle cas 

 particulier d'un de mes théorèmes sur la dérivation des intégrales indéfinies (Leb., Lejons 

 sur l'Int. 1904; Vit., Rend. Palermo, 1905); à l'occasion d'un théorème sur les fonctions 

 mesurables (Borei et Leb., C. R. 1903; Vit., Rend. Ist. di Lomb. 1905); à l'occasion d'un 

 théorème sur les fonctions représentables analytiquement (Leb., C. R., 1904; Vii, Ces 

 Rend., 1905). Ces rencontres montrent que les théorèmes en question sont assez naturels 

 pour se présenter à l'esprit de tous ceux qui s'occupent de ces questions. 



