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que, si l'on prend un ensemble d'intervalles non empietemi les uns sur les 

 autres, situès dans l'intervalles fini (a , b) que l'on considère, et doni la 

 somme des longueurs est l, la somme des valeurs de la variation totale 

 dans ces intervalles tende uniformément vers zero avec l. 



La condition est nécessaire: en effet, supposons que f soit l'intégrale- 



indéflnie de <p, la yariation totale de / dans (a , /?) est I \cp\dx . Par suite, 



«-'a 



la somme des variations totales de f dans les intervalles considérés est au 

 plus |M | J -f- I(M) , I(M) étant encore l'intégrale de \<p\ étendu à l'ensemble 

 des points de (a , b) où \g>\ surpasse |M|. Donc cette somme de variation 

 totale tend uniformément vers zero avec l , car on peut prendre I(M) aussi 

 petit que l'on veut pourvu que (M| soit assez grand. 



La condition est suffisante : en effet, si elle est remplie, / étant à va- 

 riation bornée a, sauf peut-étre aux points d'un ensemble de mesure nulle, 

 une dérivée déterminée laquelle est sommable dans l'ensemble des points où 

 elle existe et est finie Soit J une fonction égale à cette dérivée là où elle 

 existe et est finie et nulle ailleurs. J est sommable, je dis que son intégrale 

 indéflnie est f. Je pose <p=fJd.v — /. y a une dérivée nulle sauf peut- 

 étre aux points d'un ensemble de mesure nulle E et d'ailleurs <p possède la 

 propriété que nous avons supposée appartenir à /, car cette propriété appar- 

 tient à fJdx et la variation totale d'une différence est au plus la somme 

 des variations totales des deux termes. Je dis que y> est constante. 



Enfermons E dans un ensemble A d'intervalles de longueur totale l . A 

 ebaque point x de (a , b) nous pouvons attaclier un intervalle positif (x , x -\~ h) 

 soumis a la condition d'étre intérieur à A , si x appartient à E , et à la con- 

 dition que 



\y>{x -\- h) — (f(x)\ <C s h , (e<0), 



dans les autres cas. Couvrons (a , b) avec une chaine formée de ces intervalles ; 

 (p(b) — (f(a) est la somme des quantités analogues relatives aux intervalles 

 de la ebaìne. Ceux de ces intervalles dont l'origine appartient à E fournissent 

 une contribution inférieure à la variation totale dans les intervalles A , donc 

 aussi petit que l'on veut quisque l est arbitraire. Les autres fournissent une 

 contribution au plus égale à s(b — a), s est quelconque, la proposition est 

 démontrée. 



Dans l'énoncé précédent on peut remplacer « la somme des valeurs de 

 la variation totale dans ces intervalles » par « la variation dans ces inter- 

 valles », en entendant par la la somme — f(a)\ étendue à tous les 

 intervalles (« , /?) considérés. Cela résulte si Fon veut de la démonstration 

 précédente ou encore du fait qu'en subdivisant un intervalle en intervalles 



(*) Le9ons sur l'intégration, pages 128 et 129. 



