— 288 — 



partiels et en prenaut la variation pour ces intervalles partiels on approche 

 autant que l'on veut de la variation totale dans l' intervalle divise. Voici une 

 autre transformation plus intéressante. 



J'appelle variation de f dans un ensemble de mesure nulle E la plus 

 petite (') des limites vers lesquelles tendent les variations de / dans un 

 système d'intervalles contenant E et de la mesure /, quand on fait tendre 

 l vers zero. Alors pour qu'une fonction f soit une intégrale indéfinie il 

 faut et il suffit que, dans tout ensemble de mesure nulle, elle alt une va- 

 riation nulle et qiielle soit à variation bornée. 



La condition est évidemment nécessaire; pour montrer quelle est suffi- 

 sante je remarque que, si elle est remplie, / est continue et à variation bornée 

 de sorte qu'on peut reprendre un raisonnement précédent; conversant les 

 mémes notations, je pose (p=fJdx — f\ y> a une dérivée nulle sauf aux 

 points d'un ensemble de mesure nulle E. D'ailleurs dans E la variation de (p 

 est nulle car c'est au plus la somme de la variation de f, et de la plus 

 grande des limites des variations de dx dans intervalles contenant E et 

 de mesure totale tendant vers zero ; ces deux quantités à ajouter sont nulles. 



J'enferme E dans des intervalles A choisis de manière que la variation 

 v de <j) dans A tende vers zero avec la longueur totale des A . A chaque 

 point x de (a , b) ne faisant pas partie de A j'attache un intervalle positif 



^) ^1 <l ue 



| (f(x -f- h) — <K#) I = £ h > ( f > 0) , 



et que (x -f- h) ne soit pas intérieur à un intervalle A . 



En évaluant <p(b) — tp(a) à Faide d'une chaìne formée à l'aide de ces 

 intervalles et des A , on trouve : 



1 9>(#) — 9(a) I = f (* — à) + v ; 



<p est donc une constante (•). 



Les énoncés qui précédent fixent les cas où la fonction primitive s'ob- 

 tient immédiatement comme intégrale indéfinie d'un de ses nombres dérivés. 

 Lorsqu'il n'en est pas ainsi l'integration peut encore parfois étre utilement 

 employé au passage d'un des nombres dérivés J k la fonction primitive f. 



(*) Pour l'application qui suit la plus petite limite pourrait étre remplacée par la 

 plus grande, bien évidemment; mais ces deux limites ne sont pas toujours nécessaire- 

 ment égales. 



( 2 j II est facile de voir que les deux conditions de l'énoncé qui vient d'étre légitimé 

 sont indépendantes. Si l'on avait, dans cet énoncé, remplacé variation par variation to- 

 tale la première condition eut suffì à elle seule ; la variation totale dans E se définissant 

 par un procédé analogue à celui qui a servi pour la variation. 



