— 289 — 



Supposons, par exemple, que f remplisse les conditions des énoncés pré- 

 cédents dans tout intervalle n'ayant aucun point commun avec un ensemble 

 ferme E . On sait, dans un tei intervalle, remonter de 4 à /; on le sait dono 

 aussi dans tout intervalle contigli à E ou dans tout intervalle où E est réduc- 

 tible. Supposons maintenant que la sèrie 2\f((3) — f(a)\ étendue à tous les 

 intervalles contigus à E soit convergente, connaissant J nous savons former 

 la fonction 



ì(x) étant le plus grand des nombres de E non supérieur à x et 2' étant 

 étendue à tous les intervalles (a , /?) contigus à E pour lesquels on a 

 a. 



La rechercbe de f est donc ramenée à celle de fi = f — or il est 

 facile de démontrer que les nombres dérivés de f v qui sont nuls en tout point 

 n'appartenant pas à E, sont égaux à ceux de f en tous les points de E, sauf 

 en ceux d'un ensemble exceptionnel de mesure nulle. On peut donc opérer à 

 nouveau sur /, comme sur fi 1 ). 



En ce qui concerne les fonctions illimitées il est facile de donner des 

 défìnitions de l'intégrale s'appliquant à des catégories plus étendues de fonc- 

 tions et pouvant étre utilisées dans la rechercbe des fonctions primitives. 

 Par exemple, imitant ime définition de de la Vallee Poussin ( 2 ), on peut 



definir l'intégrale par l'égalité 



f u désignant une fonction égale à /"quand on a |/|^.M, / M est égale à M 

 pour f>M et à — M pour f<M. 



Si l'on adoptait cette définition ( 3 ) ou tout autre analogue, il faudrait 

 faire de suite une révision minutieuse de toutes les propriétés de l'intégrale ; 



(') On pourra comparer ces indications avec celles que je donnais dans ma Thése 

 (Intégrale, Longueur, Arie; Annali di Mat., 1902; Note du n. 34). Le procède' qui rèsulte 

 de ces indications paralt trop compliqué pour pouvoir étre' souvent utilisé; cependant il 

 peut étre utile dans la théorie des séries trigonométriques. D'ailleurs il seinble que ces 

 deux applications : recherche d'une fonction connaissant un de ses nombres dérivés ; re- 

 cherche de la sèrie trigonométrique représentant une fonction donnée, soient toujours 

 intimement liées. 



( 2 ) Si l'on se rappelle que, pour passer de la définition de l'intégrale d'après Cauchy- 

 Eiemann à celle que j'ai donnée, il suffit de remplacer les divisions de l'interrarle de 

 variation de la variable par des divisions de l'intervalle de variation de la fonction, la 

 définition proposée dans le texte apparaitra comme imitée de la définition, d'après Cauchy, 

 de la valeur principale d'une intégrale. 



( s ) Pour avoir la définition que j'ai adoptée (Lecons sur l'Ini page 1 15) il faudrait 

 ajouter cette condition que lhn M =oo fifa I dx esiste. 



6( X ) = f(x) - fimi + - /(«)] , 



Eendiconti. 1907, Yol. XVI, 1° Sem. 



38 



