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on devrait se demander, par exemple, si, du fait que f a une intégrale dans 

 (a , b), il résulte nécessairement que f en a une dans toute partie de (a , b) (*), 

 si l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, etc. 



Pour les fonctions non toujours fìnies, les théorèmes précédente pourraient 

 conduire à dire: On appelle intégrale d'une fonction / l'intégrale de cette 

 fonction étendue à l'ensemble des points où elle finie. Mais, pour qu'une telle 

 défìnition puisse étre vraiment utile, il faut que f ne devienne infìnie qu'aux 

 points d'un ensemble de mesure nulle, sans quoi l'intégrale de f -f- constante 

 ne serait pas l'intégrale de / et de la constante. Mais, si /n'est infìnie qu'en 

 un ensemble de points de mesure nulle, cette défìnition peut ètre avanta- 

 geuse. L'intégrale ainsi défìnie pourra parfois se calculer à Faide du tbéorème 

 suivant, que j'énonce en conservant au mot intégrale le sens plus restreint 

 que je lui ai toujours donné. 



Si une suite non décroissante de fonctions ui a pour fonction limite u ; 

 si ili n'est infìnie qu'aux points d'un ensemble de mesure nulle E,, si u n'est 

 infìnie qu'aux points d'un ensemble de mesure nulle E, si enfìn u v a une 

 intégrale dans l'ensemble des points n'appartenant pas à Ej, la suite des 

 intégrales des Ui est convergente, ou divergente, suivant que u a, ou non, une 

 intégrale dans l'ensemble des points n'appartenant pas à E; cette intégrale, 

 quand elle existe, est la somme de la sèrie. 



En attribuant la valeur 0 à toutes les fonctions u x et u aux points de 

 l'ensemble de mesure nulle E + E t -j- E 2 -f- . . . on voit qu'il suffit de dé- 

 montrer la propriété pour les fonctions partout fìnies. Or, qu'une serie à ter- 

 mes positifs soit intégrable terme à terme, est précisément l'une des 6 con- 

 ditions que j'ai imposées à priori à l'intégrale ( 2 ). J'ai vérifìé ( 3 ) que l'in- 

 tégrale des fonctions bornées satisfaisait bien à ces six conditions, et j'ai 

 affinile ( 4 ) qu'il' en était de méme pour l'intégrale des fonctions non bornées. 

 Ce qu'on justifiera très facilement en reprenant presque sans modifìcation 

 le raisonnement que j'ai utilisé pour les fonctions bornées ( 5 ). 



(') On pourra voir, par exemple, ce qui se passe pour la fonction ^ quand on lui 



applique la défìnition précédente. 



( 2 ) Lecons, pages 98-99. 



( 3 ) Lecons, page 114. 



( 4 ) Lecons, page 115. 



( 5 ) M. B. Levi a développé ce raisonnement dans une Note Sopra V integrazione 

 delle serie (Eend. del. E. Ist. Lomb., serie II, voi. 39, 1906). 



